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Etude racines d'un polynôme de degré 6

MessagePosté: Lundi 05 Juin 2006, 17:01
par nirosis
Voici mon problème:

J'ai un polynôme de degré 6 ayant cette forme:

$$P(X)=f_6(\omega).X^6+ \ldots +f_1(\omega).X+f_0(\omega)$$



Les $f_i$ sont des fonctions affines de $\omega$.

Pour $\omega=\omega_0$ fixé, je sais qu'il existe une racine réelle positive (plus 4 imaginaires et une racine négative). Je voudrais savoir si vous avez une idée pour trouver le comportement de cette racine positive lorsque j'augmente $\omega$ de $\epsilon$. En gros, pour savoir si j'ai la monotonie de cette racine positive en fonction de $\omega$.

Pensez-vous qu'il faut s'appuyer sur les relations coeff-racines (je ne pense pas).
Y-a-til une méthode classique pour traiter cela ? Je voudrais juste votre avis sur la façon dont vous aborderiez la chose, car je sèche pour le moment... j'arrive seulement à le voir numériquement, mais ce n'est pas une preuve...

MessagePosté: Lundi 05 Juin 2006, 18:20
par la main gauche
Les relations coeffiicient-racines sont très utiles lorsque toutes les racines sont dans le corps étudié, notamment quand on est intéressé par les racines complexes. Ces relations permettent par exemple de démontrer que l'application qui va de $C^6/ S_6$ dans les polynômes unitaires de degré 6 et qui à un 6-uplet $z_i$ (vu à permutation près) associe le polynôme $\prod (z - z_i)$ est un isomophisme de variétés algébriques affines; ce résultat est très utile pour formaliser le fait "intuitif" qu'un polynome dont 3 racines sont confondues est un cas particulier de polynomes à 2 racines confondues etc. Comme l'isomorphisme est "abstrait" je vois mal comment utiliser ça pour faire une étude infinitésimale.

J'irais voir dans Calcul Infinitésimal (Dieudonné) au chapitre "Développement d'une fonction implicte" et à celui sur le "Théorème de Rouché", il y a des exemples de ce genre traités il me semble. Un cas semblalbe, pour une cubique, est traité dans Petit Guide de Caclul Différentiel de François Rouvière, à l'aide du théorème des fonctions implicites.

Les outils classqiues sont sûrement Rouché/ ou es fonctions implicites (différentielles).

MessagePosté: Lundi 05 Juin 2006, 18:32
par nirosis
Ok merci je vais me renseigner sur les points que tu proposes !