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Dim de Hausdorff, ens. triadique de Cantor ("publication")

MessagePosté: Samedi 29 Septembre 2007, 14:21
par fractalux
Bonjour,
voici notre projet de 3ème année de licence de mathématiques. C'est un projet d'analyse (48 pages) traitant en particulier de la dimension de Hausdorff (sorte de généralisation de la dimension euclidienne, permettant de donner des dimensions non entières à certains objets, fractales entre autres) et de l'ensemble triadique de Cantor (souvent appelé aussi poussière de Cantor).

Cela nous a beaucoup intéressé de le faire et on remercie beaucoup notre prof.

Bonne lecture. Toute remarque et critiques constructives sont les bienvenues.

http://blog.crdp-versailles.fr/peronno/public/projet-hausdorff.pdf

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Autosimilarité,
ensemble triadique de Cantor
et dimension de Hausdorff

Image

Projet de troisième année de licence de mathématiques
présenté fin mai 2007 par
Louis Iôôs et Sébastien Peronno
Professeur : Stéphane Ginouillac


Table des matières

Introduction

1 Mesure et dimension de Hausdorff - autosimilarité
1.1 Mesure et dimension de Hausdorff
1.1.1 Mesure de Hausdorff
1.1.2 Propriétés de la mesure de Hausdorff
1.1.3 La dimension de Hausdorff
1.2 Autosimilarité
1.2.1 Définition de l'autosimilarité
1.2.2 Propriétéde l'autosimilarité
1.2.3 Dimension d'un ensemble autosimilaire

2 Étude d'une fractale : l'ensemble triadique de Cantor
2.1 Les ensembles de Cantor
2.1.1 Définition
2.1.2 Propriétés générales des ensembles de Cantor
2.2 Approche topologique de l'ensemble triadique de Cantor K3
2.2.1 Définition de K3
2.2.2 μ-Mesure de K3
2.2.3 Dimension de K3
2.3 Approche numérique de K3
2.3.1 Développements triadiques, définition de K3 avec ces développements
2.3.2 Bijection avec [0,1]
2.3.3 Autosimilarité et autres propriétés

3 Pour aller plus loin...
3.1 Le « Cantor abstrait » 'K'
3.1.1 Définition de 'K'
3.1.2 'K' et K3 sont homéomorphes
3.2 Fonction singulière de Lebesgue
3.2.1 Définition de la fonction
3.2.2 Propriétés de cette fonction

Remerciements

Bibliographie

Re: Dim de Hausdorff, ens. triadique de Cantor ("publication")

MessagePosté: Jeudi 15 Novembre 2007, 23:29
par Cruptos
Bonjour,

j'ai téléchargé votre travail que j'ai bien apprécié.
Je vous signale une autre (encore une) façon de voir l'ensemble triadique de Cantor qui a l'intérêt d'exhiber une structure de groupe compact.
Dans votre partie sur l'interprétation obtenu en enlevant l'intervalle du milieu lors d'un découpage en trois parties égales vous avez vu que ceci revient à peu près à étudier les nombres de l'intervalle $[0,1]$ qui s'écrivent en développement ternaire sans le chiffre $1$.
Autrement dit vous regardez les suites de $0$ et de $2$.

Alors on peut dire qu' à chaque suite de $0$ et de $2$ on fait correspondre la suite de $0$ et de $1$ obtenue en remplaçant $2$ par $1$.
On est donc amener à dire que l'ensemble qui nous interesse est aussi $\{0, 1\}^{\mathbb N}$.
On met sur $\{0, 1\}$ la topologie discrète (tout est ouvert). On a un compact.
Sur $\{0, 1\}^{\mathbb N}$ on met la topologie produit : c'est un compact (théorème de Tichonov).
Et là on a une structure de groupe ($\{0, 1\}$ est un groupe, le produit aussi).

Vous pouvez voir cette présentation sur mon site http://www.acrypta.fr dans "dossiers scientifiques" "compact de Cantor".

Re: Dim de Hausdorff, ens. triadique de Cantor ("publication")

MessagePosté: Vendredi 16 Novembre 2007, 14:09
par fractalux
Cruptos a écrit:Bonjour,
On est donc amener à dire que l'ensemble qui nous interesse est aussi $\{0, 1\}^{\mathbb N}$.


En fait, sans redire que c'est un compact, c'est ce qu'on fait un peu plus loin, p. 39, en montrant un homéomorphisme entre cet ensemble (qu'on appelle le Cantor Abstrait) et le Cantor Triadique.

Re: Dim de Hausdorff, ens. triadique de Cantor ("publication")

MessagePosté: Vendredi 16 Novembre 2007, 15:04
par Cruptos
Bonjour,

effectivement, j'avais lu un peu rapidement et cette interprétation est bien présente dans votre travail.
Ce qui est très intéressant dans cette interprétation c'est de profiter de la structure de groupe compact pour définir les caractères (fonctions de Walsh) et la transformation de Fourier qui en découle.

En tous les cas c'est un bon mémoire. Si vous continuez en master dans une spécialisation en théorie du signal, ou en cryptographie ou en géométrie des espaces de Banach et sans doute bien d'autres domaines tout aussi variés, cela vous sera bien utile.

Re: Dim de Hausdorff, ens. triadique de Cantor ("publication")

MessagePosté: Dimanche 25 Novembre 2007, 18:11
par Valvino
Très bon travail je n'ai pas encore le niveau pour tout comprendre :cry: mais c'est super!

Avec quels packages, documentclass et polices as-tu rédigé ce rapport?

Re: Dim de Hausdorff, ens. triadique de Cantor ("publication")

MessagePosté: Lundi 03 Décembre 2007, 22:54
par fractalux
Avec quels packages, documentclass et polices as-tu rédigé ce rapport?


En effet, le code LaTeX pourraient intéresser certain-ne-s, voici le préambule :

Code: Tout sélectionner
\documentclass[a4paper,12pt]{report}

\title{Autosimilarit\'e, ensemble triadique de Cantor et dimension de Hausdorff}
\author{Louis Ioos et S\'ebastien PERONNO}

\usepackage[francais]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc}

\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{array}
\usepackage{verbatim} %texte non-interprété language=1
\usepackage{graphicx}

\usepackage{wasysym}
\usepackage{pifont}
\usepackage{mathpple}
% http://melusine.eu.org/syracuse/fontes/wasysym/
% http://zoonek.free.fr/LaTeX/Fontes/fontes.html

\addtolength{\hoffset}{-1.5cm} \addtolength{\textwidth}{3cm}
\addtolength{\voffset}{-2.5cm} \addtolength{\textheight}{4.5cm}
\setlength{\parindent}{0cm} \setlength{\parskip}{1.5em}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}


et ici le code du projet.

Re: Dim de Hausdorff, ens. triadique de Cantor ("publication")

MessagePosté: Lundi 31 Mai 2010, 18:09
par ValentinWFP
Je fais remonter un très vieux sujet et j'en suis désolé mais si quelqu'un possédait une copie du travail dont parle fractalux, je lui serais redevable
Merci d'avance

Re: Dim de Hausdorff, ens. triadique de Cantor ("publication")

MessagePosté: Lundi 07 Juin 2010, 17:32
par fractalux
En effet, on ne peut plus télécharger avec ce lien. Les personnes qui souhaitent ce rapport peuvent m'écrire à

"fractalux, arobase, gmail, point, com"

Re: Dim de Hausdorff, ens. triadique de Cantor ("publication

MessagePosté: Jeudi 11 Octobre 2012, 20:20
par fractalux