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Valeurs propres vecteurs propres

MessagePosté: Mercredi 05 Septembre 2007, 08:44
par alekhine
Bonjour,

Jusqu'à présent, je n'ai jamais entendu parler de valeurs et vecteurs propres que pour les endomorphismes.
Or dans le premier devoir d'algèbre du CNED, ils demandent de déterminer les valeurs propres d'un isomorphisme de $\R^3$ dans un espace de dimension trois.
Et, plus fort encore, dans la quatrième partie de ce devoir, ils demandent de déterminer les valeurs propres d'un morphisme de $\C^2$ dans $\R^3$ !

Alors de deux choses l'une, existe-t-il une autre définition des valeurs propores plus générale ?
Ou est-ce juste moi qui fais un total contre-sens sur le devor ?

Re: valeurs propres vecteurs propres

MessagePosté: Mercredi 05 Septembre 2007, 09:48
par kilébo
Effectivement, une valeur propre ne concerne, à ma connaissance, que les endomorphismes.

Toutefois, il y a peut-être une généralisation de la définition dans ton devoir que l'on a pas.

Re: valeurs propres vecteurs propres

MessagePosté: Mercredi 05 Septembre 2007, 10:56
par alekhine
Non, il n'y a aucune précision sur la définition.
Tout cela est bien étrange, je pense que quelquechose m'échappe...

Re: valeurs propres vecteurs propres

MessagePosté: Mercredi 05 Septembre 2007, 11:14
par Valvino
Peut être pourrais-tu scanner le sujet ici?

Re: valeurs propres vecteurs propres

MessagePosté: Mercredi 05 Septembre 2007, 11:25
par alekhine
Pas de problème, il est déjà en format pdf, par contre je ne sais pas envoyer de pièces jointes sur le forum, et je ne sais pas si j'ai le droit de diffuser sur internet les devoirs du cned de cette année. J'attends votre avis et si vous pensez que j'ai le droit, j'envoie tout ça.

Re: valeurs propres vecteurs propres

MessagePosté: Mercredi 05 Septembre 2007, 13:09
par guiguiche
Effectivement, ce ne doit pas être trop légal de poster ce fichier.

Re: valeurs propres vecteurs propres

MessagePosté: Mercredi 05 Septembre 2007, 13:09
par rebouxo
Pour le droit, c'est clairement non !
Tu as signé un contrat avec le CNED qui est très restrictif... Sauf si cela a changé, évidemment.
Olivier

Re: Valeurs propres vecteurs propres

MessagePosté: Mercredi 05 Septembre 2007, 13:44
par alekhine
Comme ça c'est clair.
Ca me semblait aussi un peu délicat :roll:

Re: Valeurs propres vecteurs propres

MessagePosté: Jeudi 06 Septembre 2007, 08:33
par OG
Bonjour

Je suis un peu perplexe sur cette histoire de valeurs propres. J'ai regardé dans deux trois bouquins, c'est toujours les valeurs propres pour un endomorphisme ou pour des matrices carrées.
Déjà quand tu as donné ton exercice avec l'isomorphisme de $\R^3$ dans $\text{Im} f$ j'étais un peu surpris, car tu prends la base canonique de $\R^3$ et comme base de $\text{Im}f$ les images des vecteurs de base. Donc, évidemment, les valeurs propres sont 1 de multiplicité 3. En faisant ainsi ce sera toujours le cas quelque soit l'isomorphisme, ce qui est tout de même gênant, la définition de valeur propre devant être indépendante du choix des bases...
J'aurai peut-être du faire un commentaire à ce moment.

Concernant le pdf tu peux peut-être l'envoyer à quelques personnes en privée ?
Même si c'est interdit.
Cordialement
O.G.

Re: Valeurs propres vecteurs propres

MessagePosté: Jeudi 06 Septembre 2007, 16:09
par alekhine
Salut,

Il est interessant de lire en parallèle le fil "cned devoir 1 d'algèbre" dans le groupe agrégation interne, il parle de la même chose.

car tu prends la base canonique de $\R^3$ et comme base de $\text{Im}f$ les images des vecteurs de base. Donc, évidemment, les valeurs propres sont 1 de multiplicité 3. En faisant ainsi ce sera toujours le cas quelque soit l'isomorphisme, ce qui est tout de même gênant, la définition de valeur propre devant être indépendante du choix des bases...


Existe-t-il toujours une base de $\text{Im} f$ $(f_i)$ telle que si $(e_i)$ est une base de $\R^3$ on ait $f(e_i)=f_i$ ? Je ne crois pas, mais je demande confirmation.
Si ce n'est pas le cas, l'explication de Peg est tout à fait valable.

Reste que de toute façon la question est très mal posée. Je vous la redonne texto :
"Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $\R^3$ sur $\text{Im}\Phi=H$ et donner ses valeurs propres."
Il est clair que les valeurs propres ne concernent que les endomorphismes, ce qui n'est pas le cas de $\Phi$.

Je pense qu'il aurait mieux fallut écrire :
"Donner les valeurs propres d'une matrice représentant $\Phi$.

Re: Valeurs propres vecteurs propres

MessagePosté: Jeudi 06 Septembre 2007, 16:22
par OG
alekhine a écrit:Salut,
Existe-t-il toujours une base de $\text{Im} f$ $(f_i)$ telle que si $(e_i)$ est une base de $\R^3$ on ait $f(e_i)=f_i$ ? Je ne crois pas, mais je demande confirmation.
Si ce n'est pas le cas, l'explication de Peg est tout à fait valable.

Dès que $f$ est (linéaire)-injective, tout base de l'espace de départ devient par $f$ une base de $\text{Im} f$.
(c'est libre car $f$ est injective et la famille est libre, ça engendre car on part de la base)

Pardon je croyais que c'était toi qui avait posé la question aide-superieur-f18/matrice-valeurs-propres-t4322.html

Je reste perplexe... des avis ?

O.G.

Re: Valeurs propres vecteurs propres

MessagePosté: Jeudi 06 Septembre 2007, 17:20
par alekhine
Dès que $f$ est (linéaire)-injective, tout base de l'espace de départ devient par $f$ une base de $\text{Im} f$


Bon, donc la question est complètement relancée.

En tout cas je croyais qu'il était nécessaire d'avoir la bijectivité pour que l'image d'une base soit une base. Mais finalement je vois que l'injectivité suffit.

Très bien, très bien, je prend note :)

Re: Valeurs propres vecteurs propres

MessagePosté: Jeudi 06 Septembre 2007, 18:22
par guiguiche
alekhine a écrit:En tout cas je croyais qu'il était nécessaire d'avoir la bijectivité pour que l'image d'une base soit une base. Mais finalement je vois que l'injectivité suffit.

Attention, comme l'a dit OG, la seule injectivité de $f$ assure la bijectivité est de $E$ dans $\text{Im}(f)$ et non dans $F$.