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[Euclide] Définition de la ligne droite

MessagePosté: Samedi 01 Septembre 2007, 13:57
par MB
Dans le premier livre des Eléments d'Euclide on peut trouver la définition d'une ligne droite (voir ici). Cette définition est la suivante :

Une ligne droite est celle qui est également placée entre ses points.


Je trouve que c'est peu clair et je me demande comment on peut l'interpréter.

La définition d'une ligne est la suivante :

Une ligne est une longueur sans largeur.

Re: [Euclide] Définition de la ligne droite

MessagePosté: Samedi 01 Septembre 2007, 16:09
par rebouxo
Ouhhhh laaaa.
Les premières définitions de papa Euclide sont franchement tordues.
Une ligne n'est pas forcément droite. Un cercle c'est une ligne au sens d'Euclide.
La ligne droite c'est le segment, cela doit expliquer le entre ses points... Le également lui indique que c'est une droite.

Note : Euclide a écrit en grec. On ne connaît pas de version contemporaine de Euclide. Les plus anciennes éditions des éléments datent des arabes (me semble-t-il), en tous les cas très postérieur à Euclide.

La page de ton lien est intéressante. Je ne connais pas la version qu'il cite. Par contre c'est texto la définition que l'on trouve chez Peyrard (version papier, début XIXe). Il serait intéressant de voir la définition que donne B. Vitrac, qui en a fait une traduction récemment et qui fait autorité.

Cette page donne déjà des éléments de réponses, àmha, non ?

C'est une définition pour qui ? Des élèves ? Des adultes intéressés ? Pour des élèves je ne crois pas qu'une telle définition apporte quoi que ce soit... Il me semble qu'une "définition" physique (j'aime bien le rayon laser, personnellement) est beaucoup plus intéressante. Au chapitre des définitions de la droite, celle des maths modernes était vraiment succulente, mais je ne la retrouve pas.

En cherchant sur Internet, j'ai trouvé cela. Qui fait un sérieux tour de la question.
Olivier

Re: [Euclide] Définition de la ligne droite

MessagePosté: Samedi 01 Septembre 2007, 17:26
par MB
Merci pour ton lien et pour ta réponse qui sont très intéressants.

Je trouvais simplement que cette définition n'avait aucun sens et je ne comprends même pas ce que signifie "également placée entre ses points". Cependant, sur le document que tu m'as proposé, on peut lire (formulation un peu différente) :

Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elles


Ensuite comme commentaire :

Remarquons d'abord que cette définition n'apprend rien à qui ignore ce qu'est une ligne droite et qu'elle n'intervient pas en tant que telle dans les démonstrations, ce qui pose la question de la signification de cette définition. On pourrait d'ailleurs énoncer cette définition pour le cercle si on interprète cette définition comme exprimant que la droite (ou le cercle) est une courbe qui peut glisser sur elle-même sans se déformer. On peut en outre remarquer que la droite et le cercle sont les deux seules lignes du plan qui possèdent cette propriété.


Donc apparemment ça voudrait dire que la courbe peut glisser sur elle-même sans se déformer, ce que je ne comprends pas très bien non plus.
C'est quoi un glissement : une translation ? (dans ce cas ça ne marcherait pas pour le cercle)

Re: [Euclide] Définition de la ligne droite

MessagePosté: Samedi 01 Septembre 2007, 18:10
par rebouxo
Un glissement ne se limite pas à une translation, une rotation aussi, cela glisse.
Comme le dit le texte de Bkouche, cela n'apprend rien à une personne qui ne sait pas ce que c'est qu'une droite, ou un cercle.

Olivier

Re: [Euclide] Définition de la ligne droite

MessagePosté: Samedi 01 Septembre 2007, 18:42
par MB
rebouxo a écrit:Un glissement ne se limite pas à une translation, une rotation aussi, cela glisse.


Oui, certes.

rebouxo a écrit:Comme le dit le texte de Bkouche, cela n'apprend rien à une personne qui ne sait pas ce que c'est qu'une droite, ou un cercle.


Oui, ce qui est dommage pour une définition. :D

Re: [Euclide] Définition de la ligne droite

MessagePosté: Samedi 01 Septembre 2007, 20:25
par rebouxo
Oui et non. Le problème des définitions rejoint vite un problème de langage.
Notre langue (et les autres langues naturelles) ne savent pas faire une définition sans être auto-référente assez rapidement.
Quand tu donne la définition d'un poisson, tu as rapidement la définition de l'eau ou des écailles, des branchies, .... Donc rapidement cela tourne en rond.
Les définitions mathématiques, elles, essayent d'être univoques. Bon, cela peut fonctionner pour des objet un peu techniques (les triangles, les carrés, la médiane,... et encore, je doute de l'utilité des définitions sans une pratique antérieure des objets) mais pour certain objet très basique personne n'a jamais réussi à en donner une définition vraiment claires. C'est le cas de la droite : une droite, c'est droit, point barre, en dehors d'une expérience sensuelle, on ne peut pas l'appréhender. En faite, la définition arrive en second, à partir de là c'est dynamique, c'est-à-dire, que l'on peut complexifier, préciser, modifier, la définition en fonction des problèmes que l'on rencontre.

On apprend certaines choses par abstractions depuis notre vécu. Peu à peu on construit un objet, par interaction avec cet objet et les d'autres humains. Tout cela est très social.

Par exemple, une fois que les élèves ont une bonne idée de ce qu'est une droite, on peut envisager de dire qu'une droite c'est le plus court chemin d'un point à un autre ; ha mes p'tits gars alors, qu'est-ce qui se passe sur une sphère ?

Tu vois, ce que je veux dire ?

Bref, c'est une illusion de penser que l'on peut partir d'une définition et que l'on sera compris. Particulièrement dans l'enseignement.


Olivier

Re: [Euclide] Définition de la ligne droite

MessagePosté: Samedi 01 Septembre 2007, 20:56
par MB
Oui je vois bien ce que tu veux dire. Une définition n'est pas forcément nécessaire.
Par contre, si on en donne une c'est bien qu'elle joue pleinement son rôle et qu'elle définisse effectivement l'objet en question.

Re: [Euclide] Définition de la ligne droite

MessagePosté: Samedi 01 Septembre 2007, 21:31
par Valvino
Hilbert disait que l'axiomatique de la géométrie euclidienne (par exemple la sienne, voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Hilbert) est indépendante des objets qu'on se donne a priori, et que si on remplaçait les noms point, droite et plan par bière, table et chaise, cela ne changerai en rien le contenu mathématique et qu'il ne fallait pas compter sur l'intuition pour combler les lacunes.

Source: Grigori Perelman face à la conjecture de Poincaré de Donal O'Shea (éditions Dunod)

Re: [Euclide] Définition de la ligne droite

MessagePosté: Lundi 03 Septembre 2007, 15:07
par rebouxo
Je pense que Valvino donne un très bon exemple de ce problème de définition.
Je pense que notre formation nous pousse à rechercher des définitions. Mais, c'est une question que peu de personnes se posent.

Olivier