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Linéarisation de cos(x)^n

MessagePosté: Vendredi 30 Mars 2007, 18:21
par Tunaki
Bonjour,

Je crée un nouveau sujet pour ce problème car le précédent semble avoir quelques problème. Je ne peux plus y accéder. Un admin pourra donc supprimer l'ancien post.

Je redis donc le problème.

Je voulais trouver une linéarisation de $\cos^n(x)$.

$$\begin{aligned} \cos^n(x) & = \left(\dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^n \\  & = \dfrac{1}{2^n} \, \ds\sum_{k=0}^n \, \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \, e^{(n-k)ix} \, e^{-kix} \\  & = \dfrac{1}{2^n} \, \ds\sum_{k=0}^n \, \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \, e^{(n-2k)ix} \\ \end{aligned}$$



Et là, guiguiche me disait de remarquer que $e^{(n-2k)ix} = e^{nix} \, \left(e^{-2ix}\right)^k$. Sauf que je vois pas trop ce qu'on peut en tirer. Pourrais-tu expliquer un peu plus ?

MessagePosté: Vendredi 30 Mars 2007, 18:26
par Arnaud
Le terme mis en facteur ne dépend pas de $k$, donc tu peux le mettre en facteur pour toute la somme.
Regarde ce qu'il se passe une fois que tu auras factorisé ce terme.

MessagePosté: Vendredi 30 Mars 2007, 19:51
par Tunaki
On aurait alors :

$\cos^n(x) = \dfrac{1}{2^n} \, e^{nix} \ds\sum_{k = 0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \left(e^{-2ix}\right)^k$

Il est facile de calculer $\ds\sum_{k=0}^n \left(e^{-2ix}\right)^k$ mais le facteur $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ complique la chose.

On peut toujours transformer l'écriture en disant que :
$\ds\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \left(e^{-2ix}\right)^k = \left(1 + e^{-2ix}\right)^n$
mais cela ne sert à rien.

MessagePosté: Vendredi 30 Mars 2007, 20:26
par Arnaud
Effectivement ça n'apporte rien.
Je ne connais pas de formule généralisant la linéarisation, mais il y a des polynômes définis par récurrence qui permettent de les retrouver je crois.

MessagePosté: Vendredi 30 Mars 2007, 20:45
par kilébo
Pour linéariser, il faut effectivement passer par les complexes comme tu l'as fait mais ensuite il faut regrouper les termes deux à deux (le premier avec le dernier, le deuxième avec l'avant dernier, etc...) pour faire apparaitre des $\cos$ ou des $\sin$.

MessagePosté: Vendredi 30 Mars 2007, 20:56
par Tunaki
Oui mais cela marche bien quand on a $n$ défini, comme on l'a fait en cours.
Mais dans le cas général, le développement de l'exposant $n$ ne peut se faire qu'avec le binôme de Newton, sans pouvoir le réduire, et il ne fait pas apparaître plusieurs coefficients qui se regroupent facilement deux à deux.
À moins que je rate quelquechose ?

MessagePosté: Vendredi 30 Mars 2007, 20:57
par guiguiche
Oui, je suis bête de ne pas y avoir pensé plus tôt.

MessagePosté: Vendredi 30 Mars 2007, 21:03
par kilébo
Avec un $n$ arbitraire c'est exactement la même chose : il suffit de séparer ta somme en deux parties (tu auras à différencier $n$ pair de $n$ impair) et à changer d'indice dans la deuxième somme pour pouvoir faire l'appariement (tu compteras dans l'ordre décroissant au lieu de croissant) avec la première somme.

MessagePosté: Samedi 31 Mars 2007, 10:35
par Tunaki
Pourrais-tu détailler un peu plus ? Car là je ne vois pas comment faire.

MessagePosté: Samedi 31 Mars 2007, 12:14
par Valvino
J'ai trouvé ca dans un livre (Analyse MPSI de J.M. Monier):

linéarisation de $\cos^p$.

Premier cas: $p$ est paire, on prend $p=2m,~m \in \mathbb{N}^*$

$\displaystyle \cos^{2m}(x)=2^{-(2m-1)}\left(1/2 {2m \choose m}+\sum_{k=0}^{m-1}{2m \choose k} \cos(2(m-k).x)\right)$

Deuxième cas: $p$ est impaire, $p=2m+1,~m\in\mathbb{N}^*$.


$\displaystyle \cos^{2m+1}(x)=2^{-2m}\sum_{k=0}^{m}{2m+1 \choose k} \cos((2m+1-2k).x)$

MessagePosté: Samedi 31 Mars 2007, 12:48
par kojak
Bonjour,
Je ne pense pas que cette jolie formule serve dans la pratique : elle permet seulement de montrer comment peut s'écrire $\cos^n x$ tout simplement.
Dans un cas particulier, il suffit de repartir de la formule d'Euler, et de développer à l'aide de la formule du binôme...
Alors pour Tunaki, essaie de transformer par exemple $\cos ^3 x$, $\cos^4 x$ et tu verras comment ça marche :wink:

MessagePosté: Samedi 31 Mars 2007, 12:56
par Tunaki
J'avais déjà linéariser $\cos^4x$ en cours et c'est pour cela que j'essayais de voir s'il pouvait y avoir une généralisation.
Apparement, elle n'apporte pas grand chose et semble compliqué (pas (du tout) dans mon programme en tout cas).

Merci quand même Valvino d'avoir posté ça :)

Re: Linéarisation de cos(x)^n

MessagePosté: Jeudi 31 Décembre 2009, 10:50
par freiher
suite à cet article qui date quand même de 2007 je me permets de répondre sachant qu'en effectuant mon master j'ai réalisé en 1999 une recherche sur la linéarisation cos(x)^n et sin(x)^n sans passer par la formule d'Euler (c'est-à-dire les exponentiel). Si vous voulez plus de détails concernant cette étude je me ferais une joie de vous les fournir sachant que cet essaie est publié et enregistré sous modèle mathématique par un logiciel qui fonctionne sous windows. Qui plus est, mon modèle est plus simple que celui trouvé dans le livre : Analyse MPSI de J.M. Monier. pour lequel je me suis appuyer sur les recherches de Newton et Pascal.
Donc bonne recherche et bonne découverte
Bonnes fêtes de fin d'année...

Re: Linéarisation de cos(x)^n

MessagePosté: Dimanche 17 Janvier 2010, 12:28
par NatTy
Salut, cela m'intéresse de voir les travaux dont tu parles.

Re: Linéarisation de cos(x)^n

MessagePosté: Mardi 18 Février 2014, 08:24
par desbocages
Bonjour,
J'ai des formules que j'ai établies en 2004 sur ce même sujet, et elles sont vraiment très simples. Veuillez les consulter en suivant le lien ci-dessous:
http://yakamyale.over-blog.com/article-linearisation-proposition-de-formules-82233204.html
Veuillez y laisser des commentaires svp

Re: Linéarisation de cos(x)^n

MessagePosté: Mardi 18 Février 2014, 23:10
par MB
Sacré déterrage de topic ! :shock:
Par ailleurs l'article indiqué est peut être intéressant mais difficilement lisible. :|

Re: Linéarisation de cos(x)^n

MessagePosté: Mardi 17 Juin 2014, 13:22
par desbocages
Bonjour, si quelqu'un a des difficultés à lire sur mon blog, me contacter à l'adresse desbocages-mathematex@yahoo.fr pour que je puisse lui filer une copie pdf du document. Je reconnais que le blog est fait d'images parfois difficiles à lire.
Sincèrement,
Desbocages.

Re: Linéarisation de cos(x)^n

MessagePosté: Lundi 12 Mars 2018, 15:21
par Tinou
Bonjour !!

Je suis formateur en mathématiques (débutant ^^), et j'ai un problème : je dois enseigner la linéarisation à des jeunes qui ne connaissent pas le binôme de Newton, ni les combinaisons, ni l'outil somme...
Qui ont normalement connaissance des formules d'Euler et Moivre...

Sauriez-vous comment vous y prendre, par exemple, pour linéariser cos^5(x) ?
Sans Newton, on peut développer manuellement, mais cela me semble peu intéressant...

Merci d'avance, en espérant ne pas poster au mauvais endroit ^^

Tinou

Re: Linéarisation de cos(x)^n

MessagePosté: Lundi 12 Mars 2018, 20:11
par kojak
Bonjour,
Tinou a écrit:
Je suis formateur en mathématiques (débutant ^^), et j'ai un problème : je dois enseigner la linéarisation à des jeunes
quel niveau ? bac +1 ? bac + 2 ou autre ? en formation classique ou pour adulte ou autre ?

Tinou a écrit:qui ne connaissent pas le binôme de Newton, ni les combinaisons, ni l'outil somme...
ce n'est pas un problème. Ce peut être justement le moment de l'introduire à l'issue.

Tinou a écrit:Qui ont normalement connaissance des formules d'Euler et Moivre...
Euler suffit

Tinou a écrit:Sauriez-vous comment vous y prendre, par exemple, pour linéariser cos^5(x) ?
Déjà à la main je ne le fais pas faire. Je m’arrête à puissance 4, car ça commence à être pénible.
Tu ne cherches pas à former des matheux non ? mais des gens qui sachent utiliser ces outils pour les études, non ? d'où ma première question

Tinou a écrit:Sans Newton, on peut développer manuellement, mais cela me semble peu intéressant
Déjà ils devraient connaître $(a+b)^2$, ensuite tu peux leur faire faire à la main $(a+b)^3$ et $(a+b)^4$. A l'issue, ben introduction du triangle de Pascal, et interprétation de ce triangle pour les développements de $(a+b)^n$ et ensuite formule de celui qui a pris la pomme sur la tête pendant sa sieste.

Re:

MessagePosté: Vendredi 06 Juillet 2018, 16:41
par styren
kojak a écrit:Bonjour,
Je ne pense pas que cette jolie formule serve dans la pratique : elle permet seulement de montrer comment peut s'écrire $\cos^n x$ tout simplement.
:wink:


J'ai longtemps cru que ce genre de formule ne sert à rien en pratique. Et un jour j'ai croisé cet exercice :
On pose $p=2n+1$ et l'on suppose que $p$ est premier. Montrer que

$$\mathopen{(}-1\mathclose{)}^{n}(2n)!\equiv2^{4n}\mathopen{(}n!\mathclose{)}^{2}\pmod{p^{2}}.$$



L'exercice est posé tel quel, sans aucune indication, dans un bouquin d'arithmétique de 1894.