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Dérivée droite et dérivée partielle

MessagePosté: Dimanche 11 Novembre 2012, 16:35
par jg2m2010
Bonjour,

J'ai été un peu étonné d'apprendre (ou de réapprendre - peut-être l'avais-je oublier) que la dérivée droite par rapport à $x$ d'une fonction de plusieurs variables $f(x,y)$ n'était pas forcément égale à la dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ !

J'ai trouvé cet exemple sur Internet :
$\LARGE{F(x,y) = x^2y}$$y=x$
Donc $\LARGE{\frac{\partial F}{\partial x}=2x \times y = 2x^2}$
Et $\LARGE{\frac{dF}{dx}=3x^2}$
La personne qui donne cet exemple explique plus généralement que $\LARGE{\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{dF}{dx}}$ lorsque $y$ ne dépend pas de $x$ mais que cette égalité n'est pas forcément satisfaite lorsque $y$ dépend de $x$.

Qu'en pensez-vous ?

Re: Dérivée droite et dérivée partielle

MessagePosté: Dimanche 11 Novembre 2012, 17:09
par cpo
Bonjour,

Qu’est-ce que la dérivé droite d’une fonction de plusieurs variables ? Qu’est-ce que $\frac{dF}{dx}$ ?

Re: Dérivée droite et dérivée partielle

MessagePosté: Vendredi 16 Novembre 2012, 13:23
par jg2m2010
Faut que je re-réfléchisse.

Je sais qu'il a en été plusieurs fois questions dans mes cours de cette année en physique. Faut que je retrouve les exemples.

Re: Dérivée droite et dérivée partielle

MessagePosté: Mardi 18 Décembre 2012, 11:59
par nicolas reitmeier
jg2m2010 a écrit:Bonjour,

J'ai été un peu étonné d'apprendre (ou de réapprendre - peut-être l'avais-je oublier) que la dérivée droite par rapport à $x$ d'une fonction de plusieurs variables $f(x,y)$ n'était pas forcément égale à la dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ !

J'ai trouvé cet exemple sur Internet :
$\LARGE{F(x,y) = x^2y}$$y=x$
Donc $\LARGE{\frac{\partial F}{\partial x}=2x \times y = 2x^2}$
Et $\LARGE{\frac{dF}{dx}=3x^2}$
La personne qui donne cet exemple explique plus généralement que $\LARGE{\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{dF}{dx}}$ lorsque $y$ ne dépend pas de $x$ mais que cette égalité n'est pas forcément satisfaite lorsque $y$ dépend de $x$.

Qu'en pensez-vous ?



Je ne comprends pas, si y = x alors pas de dérivée partielle.

La dernière égalité est fausse, et ce n'est pas une question de dépendance entre x et y !

Re: Dérivée droite et dérivée partielle

MessagePosté: Mardi 18 Décembre 2012, 13:57
par Mikelenain
nicolas reitmeier a écrit:Je ne comprends pas, si y = x alors pas de dérivée partielle.

/!\ ce n'est pas x=y mais x et y sont indépendants

Re: Dérivée droite et dérivée partielle

MessagePosté: Mardi 18 Décembre 2012, 19:26
par nicolas reitmeier
jg2m2010 a écrit:$\LARGE{F(x,y) = x^2y}$$y=x$


?

Re: Dérivée droite et dérivée partielle

MessagePosté: Mardi 18 Décembre 2012, 19:54
par Mikelenain
ah, sorry ^^

Re: Dérivée droite et dérivée partielle

MessagePosté: Mardi 18 Décembre 2012, 20:21
par Tonn83
$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(F(x,x)\right)=\frac{\partial F}{\partial x}\left(x,x\right)+\frac{\partial F}{\partial y}\left(x,x\right)$ ?

Re: Dérivée droite et dérivée partielle

MessagePosté: Jeudi 20 Décembre 2012, 00:07
par balf
Oui, à cause de la formule de différentiation d'une composée (on fait le produit des matrices jacobiennes, par exemple).

B.A.

Re: Dérivée droite et dérivée partielle

MessagePosté: Vendredi 21 Décembre 2012, 21:28
par Tonn83
Euh ... je ne posais pas la question de savoir si ma formule est vraie ou fausse, mais si cela troublait ou non jg2m2010.

Re: Dérivée droite et dérivée partielle

MessagePosté: Lundi 31 Décembre 2012, 18:17
par jg2m2010
Alors !

Me revoilà. J'ai été particulièrement pris ces derniers temps et donc je n'ai pas pu poursuivre cette conversation.

En fait, il s'agit d'une différence entre dérivée totale et dérivée partielle. D'ailleurs, Tonn83, votre remarque m'intéresse, j'aimerais en savoir plus.

Je vous donne deux exemples que j'ai eu l'occasion de rencontrer (en pièce jointe)

Dîtes moi ce que vous pensez de ces exemples. Personnellement, ayant un peu de mal avec ces notions, je trouve certaines étapes assez logique du point de vue de l'homogénéité des grandeurs mais je pense pas être capable de refaire ces calculs de façon "instinctive"...

Re: Dérivée droite et dérivée partielle

MessagePosté: Dimanche 03 Mars 2013, 16:24
par jg2m2010
Je reviens après pas mal de semaines où j'ai encore été pas mal occupé.

J'ai peut-être trouvée une explication sur la différence entre dérivée ronde et dérivée droite. Du moins, c'est celle que l'on m'a donnée.

La voici en pièce jointe.

Qu'en pensez-vous ?