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Ensemble cohérent de démonstrations géométriques au collège

MessagePosté: Dimanche 29 Mai 2011, 12:47
par ErwanD
Bonjour,

je suis en train de préparer un ensemble de démonstration sur les quadrilatères niveau 4ème.
Mais je bute sur un problème de cohérence. J'ai peur de tourner en rond. J'ai du mal à définir les postulats de base que je peux utiliser.
J'ai choisi de garder comme postulats les propriétés de la symétrie centrale : conservation des longueurs et des angles, ainsi que "l'image d'une droite est une droite parallèle".
De plus, je ne trouve pas sur Internet de ressources claires sur ce sujet (un Bourbaki du collège ?)

Merci

Re: Ensemble cohérent de démonstrations géométriques au coll

MessagePosté: Dimanche 29 Mai 2011, 20:29
par rebouxo
ErwanD a écrit:Bonjour,

je suis en train de préparer un ensemble de démonstration sur les quadrilatères niveau 4ème.
Mais je bute sur un problème de cohérence. J'ai peur de tourner en rond. J'ai du mal à définir les postulats de base que je peux utiliser.
J'ai choisi de garder comme postulats les propriétés de la symétrie centrale : conservation des longueurs et des angles, ainsi que "l'image d'une droite est une droite parallèle".
De plus, je ne trouve pas sur Internet de ressources claires sur ce sujet (un Bourbaki du collège ?)

Merci

Ton Bourbaki du collège est encore plus vieux, il s'appelle Euclide. Je crois bien que tous les enseignants qui se sont servis du bon père Euclide (ou de ses variantes : Lamy, Port-Royal, le XVIIIe siècle fut assez riche) se sont plantés. Pourquoi ? Parce que les éléments sont des réécritures des mathématiques que l'on connaît déjà. Comme justement en collège, ils ne connaissent pas suffisamment de maths, je pense que cela ne servira pas à tes élèves. Du temps ou je passais le CAPES, temps béni de la fin des années 80, il y avait encore un parfum de maths modernes et il était important de construire les maths, notre prof nous disait que de toutes les façons, aucune construction n'était consistante : elles butaient toutes sur le problème des angles.

Ce que tu propose serait intéressant si les élèves écrivaient ces éléments. Je serais curieux de savoir comment tu argumentes cela dans le cadre des programmes de collège.

Olivier

Re: Ensemble cohérent de démonstrations géométriques au coll

MessagePosté: Lundi 30 Mai 2011, 11:37
par ErwanD
Il n'est pas question pour moi de "construire" la Géométrie avec mes élèves.

Mais, il faut les initier à la démonstration dès la classe de 5eme : "Les diverses activités de géométrie habituent les élèves à expérimenter et à conjecturer, et permettent progressivement de s’entraîner à des justifications mettant en œuvre les outils du programme et ceux déjà acquis en classe de Sixième." (d'après le Programme)

En fait, je crois que je n'ai pas de problème...

Ma peur, c'était : utiliser les propriétés connues du losange (diagonales perpendiculaires en leur milieu) pour démontrer la caractérisation de la médiatrice (points à égales distance des extrémités), puis, 4 mois plus tard, d'utiliser la médiatrice pour démontrer les propriétés du losange. Certains élèves s'en seraient peut-être rendus compte.

Re: Ensemble cohérent de démonstrations géométriques au coll

MessagePosté: Lundi 30 Mai 2011, 12:52
par rebouxo
ErwanD a écrit:Il n'est pas question pour moi de "construire" la Géométrie avec mes élèves.

Mais, il faut les initier à la démonstration dès la classe de 5eme : "Les diverses activités de géométrie habituent les élèves à expérimenter et à conjecturer, et permettent progressivement de s’entraîner à des justifications mettant en œuvre les outils du programme et ceux déjà acquis en classe de Sixième." (d'après le Programme)

Là cela me paraît plus claire. Mais faire référence à Nicolas n'était pas le meilleur moyen de préciser le contexte.
ErwanD a écrit:En fait, je crois que je n'ai pas de problème...

Ma peur, c'était : utiliser les propriétés connues du losange (diagonales perpendiculaires en leur milieu) pour démontrer la caractérisation de la médiatrice (points à égales distance des extrémités), puis, 4 mois plus tard, d'utiliser la médiatrice pour démontrer les propriétés du losange. Certains élèves s'en seraient peut-être rendus compte.


Je ne vois pas comment faire autrement que de compter sur le contexte, pour que tu puisses t'en sortir. Beaucoup (toutes ?) des propriétés des quadrilatères sont propriétés caractéristiques. Donc à un moment tu te trouveras avec des problèmes. Ta crainte ne me semble pas fondée. Et si tu as un élève qui te montre ta référence circulaire, tu cries alléluia, et tu auras eu ton génie :D D'autres part, c'est une des critiques qui revient régulièrement sur Euclide. La preuve de la première propriété très critiquable. Tout cela pour te dire que le terme peur me semble un peu fort. Je pense que le but du programme est d'habituer les élèves à justifier/argumenter/prouver tout ce qui est possible, pas de faire la seule preuve valide qui, d'ailleurs, n'existe pas en langue courante.

Olivier

Re: Ensemble cohérent de démonstrations géométriques au coll

MessagePosté: Vendredi 22 Mars 2019, 18:51
par mateo_13
Bonjour,

Philippe Colliard, (auteur d'un livre sur une axiomatique de collège qui répond à la question initiale de ce fil (dont de longs extraits sont ici : http://www.mathemagique.com ) a écrit un article intéressant sur Image des Maths à propos de l'importance de la symétrie centrale pour comprendre la géométrie de collège, j'espère qu'il vous intéressera :
https://images.math.cnrs.fr/Colleges-ve ... belle.html

Amicalement,
--
Mateo.

Re: Ensemble cohérent de démonstrations géométriques au coll

MessagePosté: Dimanche 19 Mai 2019, 21:21
par styren
mateo_13 a écrit:Bonjour,

Philippe Colliard, (auteur d'un livre sur une axiomatique de collège qui répond à la question initiale de ce fil (dont de longs extraits sont ici : http://www.mathemagique.com ) a écrit un article intéressant sur Image des Maths à propos de l'importance de la symétrie centrale pour comprendre la géométrie de collège, j'espère qu'il vous intéressera :
https://images.math.cnrs.fr/Colleges-ve ... belle.html

Amicalement,
--
Mateo.


J'avais déjà entendu parler de ce livre, mais je ne l'avais pas encore consulté. C'est fait et je suis dubitatif (en n'ayant consulté que quelques pages).
J'ai regardé ce qu'il appelle 7ième voyage (les angles). J'y ai trouvé beaucoup de verbiages. Il parle de méta-axiome pour désigner aussi bien des des propositions pouvant être prises comme axiomes que des propositions se déduisant des précédentes introduites comme métaxiome. Exemple, pages 85 et 86, les métaxiomes M14 et M15, qui contiennent en fait trois propositions. Il suffit d'en prendre une comme axiome, les deux autres s'en déduisent. Comment un élève qui lit ceci peut-il voir qu'il n'y a pas ici trois axiomes, mais un seul et deux théorèmes qui en découlent ? Et qui ne sont pas démontrés.

Re: Ensemble cohérent de démonstrations géométriques au coll

MessagePosté: Mercredi 26 Juin 2019, 15:49
par mateo_13
Bonjour,

désolé de répondre si tard au post précédent,
je crois que les réponses aux questions posées sont dans les deux articles suivants :

https://mathemagique-com.blogspot.com/2 ... tique.html
et :
https://mathemagique-com.blogspot.com/2 ... saire.html

Amicalement,
--
Mateo. http://www.donc-dapres.com/

Re: Ensemble cohérent de démonstrations géométriques au coll

MessagePosté: Vendredi 12 Juillet 2019, 16:47
par styren
ErwanD a écrit:Il n'est pas question pour moi de "construire" la Géométrie avec mes élèves.

Mais, il faut les initier à la démonstration dès la classe de 5eme : "Les diverses activités de géométrie habituent les élèves à expérimenter et à conjecturer, et permettent progressivement de s’entraîner à des justifications mettant en œuvre les outils du programme et ceux déjà acquis en classe de Sixième." (d'après le Programme)

En fait, je crois que je n'ai pas de problème...

Ma peur, c'était : utiliser les propriétés connues du losange (diagonales perpendiculaires en leur milieu) pour démontrer la caractérisation de la médiatrice (points à égales distance des extrémités), puis, 4 mois plus tard, d'utiliser la médiatrice pour démontrer les propriétés du losange. Certains élèves s'en seraient peut-être rendus compte.


Pour revenir à la question première (pas sûr que Erwan repasse par ici, mais ça servira peut-être), pour éviter de tourner en rond comme tu le dis, il faut peut-être revenir aux bases.
Les propriétés auxquelles tu fais référence reposes toutes sur peu de choses : définition des angles, mesure d'un angle, égalité des triangles, axiome des parallèles (5ème postulat d'Euclide), dans cet ordre.

Ca tombe bien l'égalité des triangles est revenue au programme. Pas de chance, dans la dernière mouture, il faut faire ça en 4ème. Donc aucune chance de faire quelque chose de cohérent en 5ème.
Pour la 4ème, par contre, on peut y arriver.

Tu commences par définir proprement la notion d'égalité de deux triangles (attention, la définition donnée dans tous les manuels récents sauf un est fausse ...) : des côtés deux à deux de même longueur et des angles deux à deux de même mesure, ce qui donne six conditions.
But du jeu : donner des condition minimales pour l'égalité de deux triangles. Règle du jeu (si tu veux vraiment faire les choses bien) : ne pas utiliser l'axiome des parallèles (d'où trois conditions sur les angles pour définir l'égalité des triangles, et non pas deux).
Th (quasi évident) : transitivité de la relation d'égalité sur les triangles

Activité (pour employer le vocabulaire pédagogiste) que l'on peut faire avec les élèves pour présenter le problème : tracer des triangles définis par des conditions C-C-A et constater qu'il n'y a pas nécessairement unicité.


Et maintenant on peut étudier les différents cas d'égalité :

Condition C-A-C
Axiome(on peut pas faire de géométrie sans axiomes) : la condition C-A-C est un cas d'égalité des triangles.
Corollaire : dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure.
Corollaire (nettement plus délicat) : théorème de l'angle extérieur (voir https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q ... vVm391G7Hs page 2 et 3). Ça n'a l'air de rien, mais une partie de la géométrie du collège repose sur cette propriété (voir plus loin).

Condition A-C-A
Th : la condition A-C-A est un cas d'égalité des triangles. La démo est au niveau collège, sans vraiment de difficulté.
Cor : Un triangle ayant deux angles de même mesure est isocèle.

Condition C-C-C
Th : la condition C-C-C est un cas d'égalité des triangles. La démo est au niveau collège, mais est plus difficile que ce qui précède (et est plus longue, avec différents cas à traiter).

Condition C-A-A
Th : la condition C-A-A est un cas d'égalité des triangles. Démo utilisant le théorème de l'angle extérieur.
Bien sûr, dans le cas où l'on utilise l'axiome des parallèles (et donc le fait que la somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°), la condition C-A-A se déduit trivialement de la condition A-C-A.

Condition C-C-A
La condition C-C-A n'est pas un cas d'égalité des triangles.

Avec déjà tout ceci, tu peux démontrer beaucoup de choses sur le parallélogramme, et les cas particuliers de parallélogrammes. Mais pas tout.
Tu peux aussi démontrer que si deux droites sont perpendiculaires à un troisième droite, elles sont parallèles (attention, démonstration longue et douloureuse).


Chapitre suivant : parallélisme
Deux propriétés importantes ici :
Si deux parallèles sont coupées par une troisième droite, les angles alternes-internes associés ont la même mesure. Démo par l'absurde en utilisant le théorème de l'angle extérieur (et voilà pourquoi ce théorème joue un rôle très important dans la géométrie du collège).
Réciproque de la précédente. La démonstration est très instructive, car elle fait clairement apparaître le besoin d'un axiome supplémentaire, celui sur l’unicité d'une parallèle à une droite donnée passant par un point donné.
Corollaire quasi-immédiat : somme des angles dans un triangle si l'on utilise l'axiome des parallèles.


Maintenant tu peux démontrer tout ce que tu veux sur les parallélogrammes (mais tu avais déjà une grosses partie à la fin du chapitre précédent).
Au passage, une propriété et sa réciproque qui ont disparu dans le dernier programme sont importantes pour démontrer la propriété sur les diagonales du rectangle : Si $C$ se trouve sur le cercle de diamètre $[AB]$ et $C\neq A$, $C\neq B$, alors $ABC$ est rectangle en $C$, et la réciproque (la démonstration utilise des triangles isocèles et des sommes de mesures d'angles).


Reste une question en suspens : les auteurs du programme sont-ils conscients de tout ce qui précède lorsqu'il remettent la notion d'égalité des triangles au programme et précise que l'on s'en servira pour démontrer des propriétés du parallélogramme ?
Je crains fort que ce ne soit pas le cas ...
Question plus triviale : les auteurs de manuels scolaires "conformes" au dernier programme sot-ils conscients de tout ce qui précède lorsqu'ils rédigent leurs ouvrages ? Je parie que non !!!

Une référence biblio où tout ceci est expliqué (certaines démonstrations sont laissées en exercices) :
Continuous Symmetry: From Euclid to Klein, de Barker et Howe, MAA, 2007.