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Formules trigonométriques (démonstrations)

MessagePosté: Mercredi 25 Août 2010, 10:11
par Naurlane
Bonjour :)

Un ami de MPSI m'a donné un formulaire de trigo. Etant donné que je rentre en PCSI, j'ai regardé ce dont il m'a donné et j'ai essayé de retrouver quelques formules mais je n'y arrive pas totalement, et je crois qu'en ayant juste quelques éclaircissements, je pourrai y arriver.
Je vous joins ici les formules qui me posent problème :

On part de :

$$\cos ( a +b ) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b) \quad (1)$$


$$\sin ( a +b ) = \sin(a) \cos(b) + \sin(b) \cos(a) \quad (2)$$




De (1) et (2) viennent ( avec a = b = x ) et $\cos(x)^2+\sin(x)^2 = 1$.

$$ cos ( 2x ) = cos^2x - sin ^2 x = 2 cos^2 x -1 = 1 - 2sin ^2 x $$

c'est ici que je ne comprends pas :| .


Comment passe t-on de $cos^2x - sin ^2 x$ à $2 cos^2 x -1$ et de $2 cos^2 x -1$ à $ =1 - 2sin ^2 x$ :?:

Par la suite, il est écrit que :

$$ cos^2x = \dfrac{1+cox(2x)}{2}$$

( ça ok )
et

$$ sin^2x  =  \dfrac{1 - cos (2x)}{2}$$

( ok aussi )

et il est écrit que :


donc,

$$1 + cos(x) = 2cos^2(x/2)$$


$$ 1 - cos(x) = 2 sin^2(x/2)$$



ici aussi, je ne comprends pas le cheminement


si vous pouviez m'éclairez un petit peu :D merci d'avance :!: :mrgreen:

Re: Formules trigonométriques (démonstrations)

MessagePosté: Mercredi 25 Août 2010, 10:32
par Minibob59
Bonjour !

Pour ce qui est de la première relation qui te pose problème :
On dispose de deux relations, à savoir :

$$ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$$


et

$$ \cos{(2x)} = \cos^2(x) - \sin^2(x) $$


On obtient les deux autres égalités en feintant un peu ^^ :

$$ \cos{(2x)} = \cos^2(x) + \cos^2(x) - \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - (\cos^2(x) + \sin^2(x)) = 2\cos^2(x) - 1 $$


et pour l'autre :

$$ \cos{(2x)} = \cos^2(x) + \sin^2(x) - \sin^2(x) - \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x) $$



Pour le deuxième type de relations trigonométriques, on part de ce résultat :

$$ \cos^2(x) = \frac{1+ \cos{(2x)}}{2} \iff 2\cos^2(x) = 1 + \cos{(2x)} $$


On pose par exemple : $X = 2x$, d'où :

$$ 2\cos^2\left( \frac{X}{2} \right) = 1 + \cos{(X)} $$



Et voià ! :)

Par contre, après il y a d'autres formules de trigo un peu plus chaudes à démontrer je trouve (en tout cas je n'ai pas encore réussi à les redémontrer, mais je n'ai pas beaucoup cherché non plus ^^), du genre :

$$ \cos{(p)} + \cos{(q)} = 2\cos{\left( \frac{p+q}{2} \right)}\cos{\left( \frac{p-q}{2} \right)} $$



sans oublier la trigonométrie hyperbolique ! ^^

Re: Formules trigonométriques (démonstrations)

MessagePosté: Mercredi 25 Août 2010, 12:51
par Noah
Du complexe, toujours du complexe, encore du complexe ! (y'a que ça de vrai pour retrouver les identités trigo).

$\cos a + \cos b =$

$=\dfrac{e^{ia}+e^{-ia}}{2} + \dfrac{e^{ib}+e^{-ib}}{2}$

$=\dfrac{e^{ia}+e^{ib}}{2} + \dfrac{e^{-ia}+e^{-ib}}{2}$

$=e^{\frac{i(a+b)}{2}} \dfrac{e^{i(a-b)/2}+e^{i(b-a)/2}}{2} + e^{\frac{-i(a+b)}{2}} \dfrac{e^{-i(a-b)/2}+e^{-i(b-a)/2}}{2}$

$=\dfrac{e^{i(b-a)/2}}{2}(e^{\frac{i(a+b)}{2}} + e^{\frac{-i(a+b)}{2}}) + \dfrac{e^{i(a-b)/2}}{2}(e^{\frac{i(a+b)}{2}} + e^{\frac{-i(a+b)}{2}}) $

$=2 \dfrac{e^{i(b-a)/2}+e^{i(a-b)/2}}{2}\dfrac{e^{i(a+b)/2} + e^{-i(a+b)/2}}{2}$

$=2 \cos ( \dfrac{a-b}{2}) \cos (\dfrac{a+b}{2})$

Bon, effectivement, c'est pas simple simple, mais il suffit de se souvenir de deux trois arnaques, comme : vaut-il mieux utiliser $\cos a = Re(e^{ia})$ ou $\cos a = \dfrac{e^{ia}+e^{-ia}}{2}$ (en l'occurrence, il vaut mieux utiliser la première quand on a des produits de cos ou de sin, ou bien des expressions de la forme $\cos (nx)$, donc pour les problèmes de linéarisation ou de développement trigo ; et la deuxième quand on a des sommes), et le fameux "coup de l'angle moitié" de la troisième ligne, qui permet de faire apparaître des expressions symétriques. Avec un peu d'entraînement, il devient beaucoup plus facile (et rapide et moins sujet aux erreurs) de retrouver rapidement toutes les identités trigo, et également les identités hyperboliques, les dérivées de arcsin, argth etc... que d'essayer de les retenir. Je sais pas pour vous mais moi j'ai jamais réussi à en retenir une seule (à part peut-être $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ ) .

Re: Formules trigonométriques (démonstrations)

MessagePosté: Mercredi 25 Août 2010, 17:07
par Naurlane
Merci à vous, j'ai tout de suite compris :) ! Oui, j'ai aussi celle des tangentes sur la fiche que mon ami m'a donné. Mais pour le coup j'attends d'y être parce que je n'y comprends pas grand chose...j'essaye de comprendre un peu mais je les reverrai très surement quand un professeur me donnera le même style de fiche récapitulative ! ( du moins, je l'espère...!) merci encore en tout cas ! :)

Re: Formules trigonométriques (démonstrations)

MessagePosté: Jeudi 26 Août 2010, 07:08
par kojak
Bonjour Naurlane, :D

C'est une excellente idée de se plonger dans ces charmantes formules de trigo avant la rentrée :lol:

bonne fin de vacances et bonne chance pour la suite :wink:

A bientôt

Re: Formules trigonométriques (démonstrations)

MessagePosté: Jeudi 26 Août 2010, 07:41
par Framboise
Bonjour,

>Noah

+1, Le passage par les complexes est la voie royale pour bon nombre de relations trigo.

Re: Formules trigonométriques (démonstrations)

MessagePosté: Jeudi 26 Août 2010, 11:19
par Naurlane
kojak a écrit:C'est une excellente idée de se plonger dans ces charmantes formules de trigo avant la rentrée :lol:


J'avoue que c'est tout de même très difficile de s'y remettre. J'ai beaucoup de mal à faire 3h de maths en une journée pour le moment ! ( vacances... quand tu nous tiens...) Mais le rythme va revenir progressivement ( de toute manière, il faudra bien ! )

A bientôt !

Re: Formules trigonométriques (démonstrations)

MessagePosté: Jeudi 26 Août 2010, 16:05
par kojak
Ehhhh... 3h de maths : alors là, chapeau bas :D

Si tu arrives à faire environ 2h par jour maths et physique, c'est déjà bien :wink:

bonne révision :D