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Accroissements finis et fonction lipchitzienne

MessagePosté: Mardi 18 Mai 2010, 20:34
par 123maths
Bonjour, on m'a posé la question suivante :
Que peut-on dire de la pente d'une droite qui coupe la représentation graphique d'une fonction k-lipschitzienne en au moins deux points distincts ?

J'ai ecrit qu'il existait une constante k telle que pour tout x et y de l'intervalle , | f(x) - f(y) | \leq k.| x - y|
En l'ecrivant sous forme de quotient , on pense immediatement à l'inégalité des accroissements finis, mais je ne sais pas quoi dire sur la pente.

Re: accroissements finis et fonction lipchitzienne

MessagePosté: Mardi 18 Mai 2010, 21:09
par fp
Si on appelle $x$ et $y$ les abscisses des points d'intersection de la droite avec la courbe représentative de $f$, si on appelle $\tau$ la pente de cette droite, que peut-on dire de $\dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$ ?

FP.

Re: accroissements finis et fonction lipchitzienne

MessagePosté: Mercredi 19 Mai 2010, 07:07
par 123maths
Que la pente f(x) - f(y) / x - y est comprise est comprise entre -k et k ! Certes mais je ne vois pas ce que ca a d'interessant ...

Re: accroissements finis et fonction lipchitzienne

MessagePosté: Mercredi 19 Mai 2010, 07:14
par fp
123maths a écrit:Que la pente f(x) - f(y) / x - y est comprise est comprise entre -k et k ! Certes mais je ne vois pas ce que ca a d'interessant ...


Ça, je ne sais pas ; c'est une question qui fait partie d'un exercice ?

FP.

Re: accroissements finis et fonction lipchitzienne

MessagePosté: Mercredi 19 Mai 2010, 14:42
par Tonn83
123maths a écrit:Que la pente f(x) - f(y) / x - y est comprise est comprise entre -k et k ! Certes mais je ne vois pas ce que ca a d'interessant ...

Cela implique que la dérivée de $f$ prend une valeur comprise entre $-k$ et $k$... :roll: apres .... bof

Re: Accroissements finis et fonction lipchitzienne

MessagePosté: Mercredi 19 Mai 2010, 21:10
par 123maths
Il s'agit en fait d'une question posée après une leçon orale de Capes sur l'inégalité des accroissement finis ... très franchement , je ne vois rien de convaincant à dire !