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Majoration

MessagePosté: Lundi 25 Février 2013, 15:21
par Tonn83
Bonjour,

Soient $I=]\alpha,\beta[$ et $J=]\gamma,\delta[$. Je suppose donnée $f$ une fonction continue de deux variables réelles définie et continue sur $I\times J$ telle que $\int_{I\times J}|f(x,y)|dx dy<\infty$.
Peut-on trouver des fonctions $u$ et $v$ à valeurs positives, définies et continues respectivement sur $I$ et $J$ telles que $\int_{\alpha}^{\beta}u(x)dx$ et $\int_{\gamma}^{\delta}v(x)dx$ convergent et $|f(x,y)|\leq u(x)v(y)$ pour tous $x\in I$ et $y\in J$ ?

Merci.

Re: Majoration

MessagePosté: Mardi 26 Février 2013, 08:46
par OG
Bonjour

Ce serait étrange d'avoir un tel résultat et cela aurait
un impact sur les traces.
Il faut juste trouver un contre ecemple.

O.g.

Re: Majoration

MessagePosté: Mercredi 27 Février 2013, 10:58
par Tonn83
Oui, en fait, ma question était absurde. Par le théorème de convergence dominée, $x\mapsto\int f(x,y)dy$ serait continue. De là il n'est pas difficile de trouver effectivement un contre exemple. :oops:

Soit $g$ une fonction d'une variable, définie, continue, à support borné. On pose alors $f(x,y)=g(y-1/x)$ pour $x>0$, et $g(x,y)=0$ sinon. Alors $x\mapsto\int f(x,y)dy$ est une fonction d'Heaviside.

Je me suis rendu compte quelques minutes après avoir posé la question