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Exercice sur le pgcd

MessagePosté: Dimanche 05 Septembre 2010, 15:47
par puissant974
pouvez vous me résoudre ce problème depuis 3 jour je me casse la tête dessus sans trouver la soluce

exercice n°3: (une justification de la propriété: PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)

autre définition d'un diviseur d'un nombre entier:
soient deux nombres entiers positifs s et t avec t diffèrent de 0 . t est un diviseur de s
lorsqu'il existe un nombre entier positif n tel que s=n*t .

r désigne le reste de la division euclidienne de a par b et q le quotient [ a=b*q+r avec 0=<r<b ).

1. Démontrer la propriété à l'aide de la définition ci-dessus:
Si un nombre d divise a, et b, alors d divise r (et b)
indice: on pourra écrire, a=n*d , b=m*d avec m et n des nombres entiers et r=a-b*q.

2. Démontrer la propriété suivante:
si un nombre d divise b et r, alors d divise a (et b) (on raisonnera pareil)

3. Que peut-on dire des diviseurs communs à a et b et des diviseurs communs à b et r ?

4. En déduire que PGCD(a;b)=PGCD(b;r) :(

Re: DAM n°1 à rendre le 7 septembre 2010

MessagePosté: Dimanche 05 Septembre 2010, 16:06
par guiguiche
puissant974 a écrit:1. Démontrer la propriété à l'aide de la définition ci-dessus:
Si un nombre d divise a, et b, alors d divise r (et b)
indice: on pourra écrire, a=n*d , b=m*d avec m et n des nombres entiers et r=a-b*q.

As-tu fait ce que j'ai mis en gras ? Quel résultat obtiens-tu pour r ?

Re: DAM n°1 à rendre le 7 septembre 2010

MessagePosté: Dimanche 05 Septembre 2010, 16:12
par puissant974
non justement comment faire donne moi la soluce stp

Re: Exercice sur le pgcd

MessagePosté: Dimanche 05 Septembre 2010, 16:35
par guiguiche
Remplace et calcule (factorise).

Re: Exercice sur le pgcd

MessagePosté: Dimanche 05 Septembre 2010, 17:33
par puissant974
Exemple ? svp..
je ne vois pas la soluce je ne comprends rien a l'exo il faut plus de détails.

Re: Exercice sur le pgcd

MessagePosté: Dimanche 05 Septembre 2010, 17:44
par guiguiche
$a=bq+r$ donc $r=a-bq$, oK ?
$a=d\times n$ et $b=d\times m$ donc $r=dn-dmq=\dots$
Tu ne dois pas avoir fait ce que je t'avais dis (remplacer) !
Continue

Re: Exercice sur le pgcd

MessagePosté: Mardi 07 Septembre 2010, 15:25
par puissant974
et pour la 2 la 3 et la 4 peut tu me donner des explications détaillé stp

Re: Exercice sur le pgcd

MessagePosté: Mardi 07 Septembre 2010, 15:31
par puissant974
r=(n-m*q)*d
r=t*d donc d est un diviseur de r
Cest bon pour le 1 j'ai trouvé pour les 3 ptre maintenant sil vous plait :cry:

Re: Exercice sur le pgcd

MessagePosté: Mardi 07 Septembre 2010, 21:08
par guiguiche
Interprète ce que tu viens de faire : si $d$ est un diviseur commun à $a$ et $b$ alors c'est un diviseur de $r$ donc un diviseur commun à $b$ et $r$ !