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Montrer qu'une fonction est bornée

MessagePosté: Dimanche 26 Octobre 2008, 16:12
par mathématicien
Bonjour,
comment montrer que la fonction $f(x)=\dfrac{3+sin(x)}{1+x^2}$ est bornée
je viens de commencer avec :

$-1 \le sin(x) \le 1$ => $-2 \le 3+sin(x) \le 4$ puis je ne trouve pas comment faire

Re: montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Dimanche 26 Octobre 2008, 16:46
par François D.
Je dirais qu'il y a un signe $-$ superflu à gauche ... ensuite : que dire de $1+x^2$, puis de $\dfrac{1}{1+x^2}$ ?

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Dimanche 26 Octobre 2008, 19:23
par mathématicien
c'est ça, que faut il faire pour $\frac{1}{1+x^2}$

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Dimanche 26 Octobre 2008, 21:59
par Valvino
On a pour tout $x$ réel : $1+x^2\geq ???$ donc $0 \leq 1/(1+x^2) \leq ???$.

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 08:17
par mathématicien
main inférieur strict a quoi ? :(

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 10:03
par leo892
Comme $x^2\ge 0$ quel que soit $x$ réel, alors $1+x^2\ge \cdots$
Et après on passe à l'inverse !

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 10:18
par mathématicien
celle ci est la parti supérieure, je parle a la parti inférieur $x^2 \le ?$ :oops:

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 10:32
par guiguiche
Réponds aux questions qui te sont posées.

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 10:39
par mathématicien
quel question :?: :oops:

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 10:50
par guiguiche
Valvino a écrit:On a pour tout $x$ réel : $1+x^2\geq ???$ donc $0 \leq 1/(1+x^2) \leq ???$.


leo892 a écrit:Comme $x^2\ge 0$ quel que soit $x$ réel, alors$ 1+x^2\ge \cdots$
Et après on passe à l'inverse !

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 11:23
par mathématicien
Ok voici ma solution
$4 \ge 3+ sin(x) \ge 2$ .....(1)

on a $+\infty \ge x^2 \ge 0$ => $+\infty \ge 1+ x^2 \ge 1$ => $\frac{1}{+\infty} \le \frac{1}{1+x^2} \le 1$ ..... (2)

(1).(2) => $0 \le \frac{3+ sin(x)}{1+x^2} \le 4$

est il vrais ?

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 13:16
par guiguiche
Il ne faut pas écrire de comparaisons de nombres réels avec $+\infty$ et encore moins la fraction $\dfrac1{+\infty}$.

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 15:06
par mathématicien
comment faire alors ?

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 15:08
par guiguiche
On applique les variations des fonctions usuelles sur les intervalles qui vont bien.

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 15:16
par leo892
Pour l'inégalité $(2)$ tu n'as aucunement besoin de t'enquiquiner avec $+\infty$ !
Ta connaissance de la fonction $f:x \longmapsto \dfrac{1}{x}$ doit te suffir à affirmer pour tout $x\in\R$

$$x^2\ge 0 \Leftarrow x^2+1\ge 1 >0$$


Et comme $f$ est décroissante sur $\cdots$ (et à valeurs dans $\cdots$) alors on en déduit :

$$\cdots\le \dfrac{1}{1+x^2}\le 1$$


??
Ensuite il ne reste plus qu'à multiplier les deux inégalités comme tu l'as fait , sauf qu'écrire des comparaisons avec $\infty$ n'est pas autorisé donc ne le fais pas, l'usage n'est pas celui que tu en fais.

Aïe pris de court par guiguiche ...

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 16:09
par mathématicien
1ér question : pour quoi n'est pas autoriser l'utilisation de $+\infty$ (ma méthode est elle fausse dans les mathématique ?)
2em question : si je multiplie ce que vous m'avez donné la fonction sera bornée d'un seul coté non ?

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 16:16
par kojak
mathématicien a écrit:1ér question : pour quoi n'est pas autoriser l'utilisation de $+\infty$ (ma méthode est elle fausse dans les mathématiques?)

tout simplement, qu'aux dernières nouvelles $\R$ est un intervalle ouvert et donc que les infinis ne sont pas des réels
mathématicien a écrit:2em question : si je multiplie ce que vous m'avez donné la fonction sera bornée d'un seul coté non ?
:shock: alors, dans ce cas ce n'est pas le terme approprié : il serait bon de connaître le vocabulaire adapté...

Et l'as tu fait, afin de voir ce que ça donne aux lieux de faire des hypothèses bien vagues...

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 16:39
par mathématicien
Ok
$4 \ge 3+ sin(x) \ge 2$ .....(1)

On a $.... \ge x^2 \ge 0$ => $.... \ge 1+ x^2 \ge 1$ => $.... \le \frac{1}{1+x^2} \le 1$ ..... (2)

(1).(2) => $..... \le \frac{3+ sin(x)}{1+x^2} \le 4$

Que faut il mètre a la place des point?

Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 16:51
par Valvino
Prenons les choses dans le bon ordre.

Soit $f:\R \to \R$. On dit que $f$ est bornée sur $\R$ s'il existe un réel $M \geq 0$ tel que pour tout $x$ réel

$$|f(x)|\leq M.$$



Soit $x$ un réel. On a

$$|\sin x| \leq 1$$


donc d'après l'inégalité triangulaire

$$|3+\sin x| \leq 4.$$



On a de plus

$$1 \leq |1+x^2|$$


donc

$$\ds \left|\frac{1}{x^2+1} \right| \leq 1$$



Finalement

$$|f(x)|=\ds \left| \frac{3+\sin x}{1+x^2} \right| = \frac{|3+\sin x |}{|1+x^2|} \leq 4.$$


Re: Montrer q'une fonction est bornée

MessagePosté: Lundi 27 Octobre 2008, 18:23
par mathématicien
je trouve un problème a comprendre $1 \le |1+x^2|$ pour quoi inférieur strict a $1$