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Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Dimanche 18 Novembre 2007, 16:46
par Gatou07
Bonjour !
Alors voilà j'ai un exercice a faire mais je ne comprend strictement rien ,pouvez-vous m'aider?


L'objectif de cet exercice est d'appliquer cette méthode à la résolution de l'équation:
(E): x^3+3x^2+15x-99=0
1.
On se ramène à la résolution d'une équation du type :
Xp3 + pX + q = 0

a. Déterminer trois réels a, p et q tels que pour tout x, x² + 3x² + 15 - 99 = (x + a)^3 + p(x+a) + q

b.En posant X=x+a, vérifier que:
X^3 + 12X - 112 = 0

2. On résout l'équation (E1): X^2+12X-112=0 pour cela, on pose X=u+v.

a) Vérifier que (u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v).

b) En déduire que:
si X=u+v alors: X^3+12X-112=u^3+v^3+(3uv+12)(u+v)-112.
si u^3+v^3=112, alors u^3v^3=-64 équivaut à X=u+v est une solution de l'équation (E1).

c) Trouver deux nombres u et v tels que: u^3+v^3=112 et u^3v^3=-64.
[ on établira que 7+5racine carré de 2=(a+b racine carrée de 2)^3 et 7-5 racine carrée de 2= (a-b racine carée de 2)^3 ]

d) Résoudre alors l'équation (E1)

e) Résoudre alors l'équation (E).

Merci d'avance, et bon courage (dsl je ne connais pas très bien le mode latex...)

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Dimanche 18 Novembre 2007, 16:49
par Valvino
Qu'as-tu fait?

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Dimanche 18 Novembre 2007, 16:50
par Jean-charles
Bonjour,
Tu développes $(x+a)^3$ et $p(x+a)$, tu réduis puis tu identifies pour retomber sur ton polynôme de départ...

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Dimanche 18 Novembre 2007, 17:37
par guiguiche
Et comme tout le monde, Gatou07 va se mettre à $\LaTeX$ pour rédiger des questions sans aucune ambiguïté.

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Dimanche 18 Novembre 2007, 17:50
par Jean-charles
Tout ça pour arriver à prouver que 3 est la seule racine de $(E)$, ce n'est pas rigolo...

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Lundi 19 Novembre 2007, 16:19
par Gatou07
J'ai fait jusqu'au 2 a)

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Lundi 19 Novembre 2007, 16:33
par Gatou07
L'objectif de cet exercice est d'appliquer cette méthode à la résolution de l'équation:
(E): x³+3x²+15x-99=0
1.
On se ramène à la résolution d'une équation du type :
Xp3 + pX + q = 0

a. Déterminer trois réels a, p et q tels que pour tout x, x² + 3x² + 15 - 99 = (x + a)³ + p(x+a) + q

b.En posant X=x+a, vérifier que:
X³ + 12X - 112 = 0

2. On résout l'équation (E1): X²+12X-112=0 pour cela, on pose X=u+v.

a) Vérifier que (u+v)³=u³+v³+3uv(u+v).

b) En déduire que:
si X=u+v alors: X³+12X-112=u³+v³+(3uv+12)(u+v)-112.
si u³+v³=112, alors u³v³=-64 équivaut à X=u+v est une solution de l'équation (E1).

c) Trouver deux nombres u et v tels que: u³+v³=112 et u³v³=-64.
[ on établira que 7+5√2=(a+b√2)³ et 7-5 √2= (a-b√2)³]

d) Résoudre alors l'équation (E1)

e) Résoudre alors l'équation (E).

Guiguiche est content? ^^

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Lundi 19 Novembre 2007, 17:08
par leo892
Sauf que c'est pas vraiment du $\LaTeX$ hihi :roll:
Va voir par ici : annonces/utilisation-latex-t4297.html

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Lundi 19 Novembre 2007, 17:50
par guiguiche
Pas du tout, pour écrire avec LaTeX :
Code: Tout sélectionner
$u^3+v^3=112$
donne $u^3+v^3=112$.

Et pour : 7+5√2=(a+b√2)³
Code: Tout sélectionner
$ 7 + 5\sqrt{2} = \left( a + b\sqrt{2} \right)^3 $
qui donne : $ 7 + 5\sqrt{2} = \left( a + b\sqrt{2} \right)^3 $
C'était tellement peu lisible que j'ai confondu la barre de division avec ton espèce de symbole de racine carrée.

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Lundi 19 Novembre 2007, 21:01
par Gatou07
lool désolée jpensais avoir bien fait...xD mais faut arreter de chipoter aussi ^^ on voit bien que c'est une racine carrée ... mais tu peux pas m'aider à resoudre mon exercice stp =)

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Lundi 19 Novembre 2007, 21:32
par Jean-charles
Bon tu en est à la 2)b)
On pose $X=u+v$ , il faut calculer $ X^3+12X-112=(u+v)^3+12(u+v)-112 $
Et pense à utiliser la question précédente...

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Dimanche 25 Novembre 2007, 11:05
par Gatou07
merci !! mais maintenant j'ai un problème pour le c) pouvez-vous m'expliquer?

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Dimanche 25 Novembre 2007, 11:31
par Jean-charles
Pour le c):
Tu peux poser $X=u^3$ et $Y=v^3$
Tu as donc à résoudre pour commencer $X+Y=112$ et $XY=-64$, c'est un système qui se ramène à une équation du second degré, tu as dû voir ça en cours.

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Dimanche 25 Novembre 2007, 17:53
par Gatou07
$u^3+v^3=112$
$u^3v^3=-64$

$u^3+v^3=112$
$uv=-4$

$u^3+v^3=112$
$u=-4/v$

et la je suis bloquée...

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Dimanche 25 Novembre 2007, 18:46
par Jean-charles
As-tu lu ce que j'ai écris ?
Tu poses $X+Y=112$ donc $X=...$
Puis tu remplaces $X$ par ce que tu as trouvé dans $XY=-64$, ainsi tu vas obtenir une équation du second degré en $Y$ que tu sais résoudre.
Ensuite tu calcules $X$.
Et enfin sachant que $u^3=X$ et $v^3=Y$, tu calcules $u$ et $v$...

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Lundi 26 Novembre 2007, 17:59
par Gatou07
Bonsoir,

Un ami dans ma classe à juste calculer le discrimiant de $x^2-112x-64=0$ puis comme le discriminant est supérieur à 0 il a calculé les 2 solutions et en à déduit que c'était u et v.
Mais un autre ami à fait un système (comme vous m'avez dit) mais après il a calculé a et b, son calcul fait au moins 1 copie double... est-ce necessaire de faire tous ça?
Pour les questions d) et e) ils n'ont pas fait pareil non plus... :(
Merci pour tout.

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Lundi 26 Novembre 2007, 18:21
par kojak
OK, mais toi tu n'as toujours pas d'équation du second degré alors je ne vois pas comment tu vas calculer un discriminant :roll:

De là, à remplir 15 copies doubles pour un malheureux petit système, faudrait peut être être plus concis dans ces calculs :wink:

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Lundi 26 Novembre 2007, 18:30
par Gatou07
Pour la c) je commence par : si $u^3+v^3=112$ et $u^3v^3=-64$ alors $u^3$ $v^3$ sont solutions de l'équation $x^2-Sx+P=0$ donc $x^2-112x-64=0$ donc j'ai une équation du second degré

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Lundi 26 Novembre 2007, 19:00
par Jean-charles
Oui il ne rest plus qu'à la résoudre...

Re: Résolution d'une équation du troisième degré

MessagePosté: Lundi 26 Novembre 2007, 20:29
par Gatou07
ok donc c'est je trouve u et v mais est-ce que je dois faire qqch pr trouver a et b ?