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[Lycée] nombre réel

MessagePosté: Lundi 05 Décembre 2005, 15:37
par issam
aidez moi s'ils vous plait à résoudre ce problème :

démontrer que pour tout x, y, z réels psitifs ona :

xy/z + xz/y + yz/x >(ou égal) x+y+z[/tex]

Re: [Lycée] nombre réel

MessagePosté: Jeudi 08 Décembre 2005, 23:04
par linfir
issam a écrit:Démontrer que pour tout x, y, z réels positifs, on a :

<center>$\frac{xy}{z} + \frac{xz}{y} + \frac{yz}{x} \geq  x+y+z$</center>


Comme cela est homogène, on peut (quitte à multiplier $x$, $y$ et $z$ par une constante) supposer que $z = 1$.

On doit alors montrer : <center>$xy + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq x+y+1$</center>

soit, puisque $y>0$ : <center>$x^2 \left( y + \frac1y - 1 \right) -x(1+y) + y \geq 0$</center>

On regarde cette dernière inéquation à $y$ fixé ; pour qu'elle soit vraie pour tout $x>0$, il suffit que le discriminant du polynôme du second degré (en $x$) soit négatif ou nul.

Or celui ci est : $\Delta = (1+y)^2 - 4\left(y + \frac1y - 1\right)y = -3(y-1)^2 \leq 0$

D'où le résultat.

merci. votre solution est brillante

MessagePosté: Lundi 12 Décembre 2005, 16:30
par issam
merci LINFIR votre solution est vraiment génial. c'est brillant!!!

l'idée de poser z = 1 est vraiment imprévisible !!!

en fait cette exercice nous a été donné dans un examen d'olympiade national de

mathématique il y a 3 semaines. il y avait 4 probs j'ai résolu 3 et il m'a resté celui

là. (je parle de concours d'olympiade Marocain, en fait je suis élève au Cinquième

dans un lycée au Maroc)

Merci pour votre aide