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Les multiples

MessagePosté: Lundi 27 Août 2018, 10:46
par kadtex
Bonjour

n est un entier.
Je n'arrive pas à démontrer l'implication suivante:
Si n est multiple de a et n multiple de b alors n est multiple de ab ( a et b entiers )

n= k*a ET n=k'*b il faut démontrer que n=q*ab avec q entier

Je n'arrive pas à le faire.
Merci pour votre aide

Re: Les multiples

MessagePosté: Lundi 27 Août 2018, 16:03
par balf
Bonjour,

Et pour cause: c'est faux sans hypothèse sur $a$ et $b$! Cela voudrait dire que le ppcm de deux nombres est toujours leur produit.

Contre-exemple: un multiple commun à $4$ et à $6$ n'est pas nécessairement un multiple de $24$: $12$ en est un.

Cela devient vrai si $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

B. A.

Re: Les multiples

MessagePosté: Mardi 28 Août 2018, 16:49
par kadtex
Bonjour Balf et merci pour ta réponse

Je reprends: a et b entiers premiers entre eux.
Si n est multiple de a et n multiple de b alors n est multiple de ab.

j'ai en vu cette démonstration par la contraposée et tu me diras si ça marche.
Contraposée: Si n n'est pas multiple de ab alors n n'est pas multiple de a OU n n'est pas multiple de b
Cette contraposée me parait vraie.
Que pense-tu de ça ?

Re: Les multiples

MessagePosté: Mardi 28 Août 2018, 22:14
par balf
Bonsoir,
Encore faut-il la prouver, cette contraposée ! Elle ne coule par de source, pour moi.

Est-ce que le lemme de Gauß fait partie de ce que vous êtes censé connaître ? Ou, à la rigueur, le lemme d'Euclide. Sinon, il faut en passer par l'identité de Bézout.

B. A.

Re: Les multiples

MessagePosté: Mercredi 29 Août 2018, 20:40
par kadtex
Bien sûr le lemme de Gauss est en terminale S spé.
a,b,c entiers et a et b premiers entre eux.
Si a divise bc alors a divise c.

Mais j'avoue que je n'arrive pas l'utiliser dans mon exemple.
Maintenant j'ai une autre idée:
Puisque n est multiple de a et n multiple de b donc les diviseurs premiers de n sont ceux de a et de b (n peut avoir d'autres diviseurs que ceux de a et de b).
D'ou ab divise n.

Peut être c'est mal rédigé mais je pense que c'est correct !

Re: Les multiples

MessagePosté: Jeudi 30 Août 2018, 08:52
par balf
Ce n'est pas faux, mais pas très précis (il faudrait dire les choses de faon plus explicite) et surtout, j'ai tendance à préférer lorsque c'est possible, des démonstrations qui utilisent des outils moins sophistiqués que la décomposition en facteurs premiers (a.k.a. Théorème fondamental de l'arithmétique).

Une indication
Par hypothèse, on peut écrire à la fois $n=am_1$ pour un certain entier $m_1$, et $n=bm_2$ pour un certain entier $m_2$. Donc $am_1=bm_2$. Que pouvez-vous en déduire au moyen du lemme de Gauß ?

Autre indication
Écrivez une identité de Bézout pour $a$ et $b$: il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $ua+vb=1$, et multipliez les deux membres par $n$: on obtient

$$uan+vbn=n$$

et voyez comment on peut mettre $ab$ en facteur dans chacun des deux termes de gauche à partir des hypothèses.

B. A.

Re: Les multiples

MessagePosté: Jeudi 30 Août 2018, 11:48
par kadtex
Une indication
Par hypothèse, on peut écrire à la fois $n=am_1$ pour un certain entier $m_1$, et $n=bm_2$ pour un certain entier $m_2$. Donc $am_1=bm_2$. Que pouvez-vous en déduire au moyen du lemme de Gauss ?

a divise m2 car a et b premiers entre eux et b divise m1
Donc m1=kb et m2=k'a ( k, k' entiers)
n=am1=ab*k
D'ou' n multiple de ab.

Pour l'autre indication il me faut un peut de temps.

Re: Les multiples

MessagePosté: Vendredi 31 Août 2018, 10:08
par kadtex
Pour la deuxième indication:
Écrivez une identité de Bézout pour $a$ et $b$: il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $ua+vb=1$, et multipliez les deux membres par $n$: on obtient

$$uan+vbn=n$$



donc uan+vbn=n
ua*k'b+vb*ka=n
ab(ku+k'v)=n
ab*q=n avec q=ku+k'v

conclusion: n multiple de ab.

Re: Les multiples

MessagePosté: Vendredi 31 Août 2018, 10:51
par balf
C'est cela. Soignez un peu la rédaction (ça manque de viande autour des formules).

B. A.

Re: Les multiples

MessagePosté: Samedi 01 Septembre 2018, 11:07
par rebouxo
balf a écrit:C'est cela. Soignez un peu la rédaction (ça manque de viande autour des formules).

B. A.


+1 avec balf. J'aurais de chair, là on dirait un plaidoyer pour une boucherie. :D
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Olivier