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Résolution d'une équation de degré 4

MessagePosté: Mardi 26 Juin 2018, 11:19
par adem19s
bonjour tout le monde.
Pour résoudre l'équation $z^4+z^3+z^2+z+1=0$ (sachant que je cherche les solutions sous la forme algébrique),je dois d'abord décomposer le polynôme $P(z)=z^4+z^3+z^2+z+1$.
puisque$P(z)$ du quatrième degré alors il peut s'écrit:$P(z)=(z^2+az+b)(z^2+cz+d)$ puis j'ai fait le développement ,j'ai trouver le polynôme suivant:
$P(z)=z^4+(a+c)z^3+(ac+b+d)z^2+(ad+bc)z+bd$ après identification,j'ai trouvé:
$a+c=1$
$ac+b+d=1$
$ad+bc=1$
$bd=1$.
et puisque le produit $bd=1$ alors j'ai pris $b=1$ et $d=1$ et j'ai trouvé:
$ a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $c=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
est ce que ce choix est justifié ?
peut on trouver une autre méthode plus simple pour factoriser le polynôme $P(z)$?
Merci.

Re: Résolution d'une équation 4 eme degrè

MessagePosté: Mardi 26 Juin 2018, 13:32
par guiguiche
peut on trouver une autre méthode plus simple pour factoriser le polynôme $P(z)$?


C'est une somme géométrique. Et 1 n'est pas racine. Après, il te faut connaître les racines de l'unité.

Re: Résolution d'une équation 4 eme degrè

MessagePosté: Mercredi 27 Juin 2018, 14:27
par balf
Les racines (complexes) de $P(z)$ sont les $\:\mathrm e^{\tfrac{2ik\pi}{5}}\quad(1\leqslant k\leqslant 4)$. Comme celles-ci sont appariées par complexes conjugués, on obtient in fine en regroupant les facteurs linéaires complexes conjugués la factorisation dans $\mathbf R$ :

$$\Bigl(z^2-2\cos\frac{2\pi}5z+1\Bigr)\Bigl(z^2-2\cos\frac{4\pi}5z+1\Bigr).$$

Reste à calculer la valeur de $\cos\dfrac{2\pi}5$.

B. A.

Re: Résolution d'une équation 4 eme degrè

MessagePosté: Mercredi 27 Juin 2018, 18:54
par adem19s
balf a écrit:Les racines (complexes) de $P(z)$ sont les $\:\mathrm e^{\tfrac{2ik\pi}{5}}\quad(1\leqslant k\leqslant 4)$. Comme celles-ci sont appariées par complexes conjugués, on obtient in fine en regroupant les facteurs linéaires complexes conjugués la factorisation dans $\mathbf R$ :

$$\Bigl(z^2-2\cos\frac{2\pi}5z+1\Bigr)\Bigl(z^2-2\cos\frac{4\pi}5z+1\Bigr).$$

Reste à calculer la valeur de $\cos\dfrac{2\pi}5$.

B. A.

Le problème c'est de trouver les valeurs exactes de $\cos(\tfrac{2\pi}{5}) $et $\cos(\tfrac{2\pi}{5})$.
d'abord on cherche les solutions de l'équation $z^4+z^3+z^2+z+1=0$ sous la forme trigonométrique puis sous la forme algébrique puis on déduira les valeurs exactes de $\cos(\tfrac{2\pi}{5}) $et $\cos(\tfrac{2\pi}{5})$.
sous la forme trigonométrique les solutions sont: $\:z_k=\mathrm e^{\tfrac{2ik\pi}{5}}\quad(1\leqslant k\leqslant 4)$.
puisque les coefficients de cette équation sont des nombres réels alors les solutions sont deux à deux conjuguées et $|z_k|=1$.
l'équation peut s'écrire alors sous la forme : $ (z-z_1)(z-\bar{z_1})(z-z_2)(z-\bar{z_2})=0$ c'est à dire :$(z^2-(z_1+\bar{z_1)z+1})(z^2-(z_2+\bar{z_2})z+1)=0$
on pose: $z_1+\bar{z_1}=-a$ et $z_2+\bar{z_2}=-b$
d'où $P(z)=(z^2+az+1)(z^2+bz+1)$ puis je développe $P(z)$ et par identification je trouve : $a=\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $b=\tfrac{1-\sqrt{5}}{2$
maintenant je résous les deux équations: $z^2+(\tfrac{1+\sqrt{5}}{2})z+1=0$ et $z^2+(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2})z+1=0$; je trouve quatre solutions sous la forme algébrique.
et par identification je trouve les deux valeurs exactes de $\cos(\tfrac{2\pi}{5}) $et $\cos(\tfrac{2\pi}{5})$.


.

Re: Résolution d'une équation de degré 4

MessagePosté: Mercredi 27 Juin 2018, 21:34
par balf
Il y a tout de même moins bestial que la méthode des coefficients indéterminés: puisque $\mathrm e^{\tfrac{2i\pi}5}$ est une des racines du polynôme cyclotomique $1+z+z^2+z^3+z^4$, on en déduit en identifiant les parties réelles que

$$1+\cos\frac{2\pi}5 +\cos\frac{4\pi}5+ \cos\frac{6\pi}5 +\cos\frac{8\pi}5=0, $$

et comme $\mathrm e^{\tfrac{2i\pi}5}$ et $\mathrm e^{\tfrac{8i\pi}5}$ d'une part, $\mathrm e^{\tfrac{4i\pi}5}$ et $\mathrm e^{\tfrac{6i\pi}5}$ de l'autre sont conjugués, on sait immédiatement que cette équation se réduit à

$$1+2\cos\frac{2\pi}5 +2\cos\frac{4\pi}5=0. $$

Posant $x=\cos\frac{2\pi}5 $ la formule de duplication idoine nous fournit aussitôt l'équation

$$4x^2+2x-1=0,$$

dont il ne reste qu'à prendre la racine positive.
B. A.