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Autour de racine de 2

MessagePosté: Vendredi 03 Novembre 2017, 18:52
par kadtex
Bonjour

Dans la question 1,j'ai démontré que pour tout réel a, a>0
Si a<V2 alors V2<2/a (V2=racine de 2)
Si a>V2 alors V2>2/a
Ainsi V2 comprise toujours entre a et 2/a

Question suivante:
Montrer que pour tout réel a, a>0
V2<1/2(a+2/a)

réponse:
D'après la question 1:
a<V2<2/a si a<V2
2/a<V2<a si a>V2
j'ajoute membre à membre:
a+2/a<V2<2/a+a

C'est curieux que V2 est encadrée par le même nombre a+2/a !
Je pense que je faute quelqepart !

Merci d'avance pour votre aide.

Re: autour de racine de 2

MessagePosté: Vendredi 03 Novembre 2017, 20:24
par kojak
Bonjour,

Un effort de mise en forme latex est nécessaire SVP.

kadtex a écrit: V2=racine de 2
En $\LaTeX$ il suffit d'écrire $\sqrt 2$

Code: Tout sélectionner
$\sqrt 2


kadtex a écrit:j'ajoute membre à membre
Pourquoi pas, mais en as-tu le droit ? Chacune des inégalités est valable pour quelle valeur de $a$ ? les mêmes ? j'ai un gros doute.

kadtex a écrit:C'est curieux que V2 est encadrée par le même nombre a+2/a !
C'est déjà bien, tu te rends compte que ça coince, c’est plutôt bon signe :D

Et sinon, une petite étude de fonction, ça ne te dirait pas pour faire ceci ?

PS : tu es à quel niveau ? toujours Term S ou autre ?

Re: autour de racine de 2

MessagePosté: Samedi 04 Novembre 2017, 11:47
par kadtex
bonjour kojak

tu es à quel niveau ? toujours Term S ou autre ?


toujours au même niveau TS!
Je ne suis pas scolarisé, j'ai dépassé l'âge de rendre des devoirs au professeur.
Je fais ça pour mon plaisir!

Effectivement les réels a n'ont pas la même valeur, par exemple a<b j'obtiens ceci:
Si a<$\sqrt 2  alors <$\sqrt 2 <2/a
Si b>V2 alors $\sqrt 2 >2/b  (ab+2)/(2a)<$\sqrt 2 <2/(ab+2)/(2b)

Est ce que cela mène à quelque chose ?

Code: Tout sélectionner
Et sinon, une petite étude de fonction, ça ne te dirait pas pour faire ceci ?


Je ne vois pas bien quelle fonction ?

Re: autour de racine de 2

MessagePosté: Samedi 04 Novembre 2017, 11:54
par kadtex
Ne pas tenir compte de mon message ci dessus pour les égalités, je le reprends.
$a<b$
$a<\sqrt 2 <2/a$ si $a<\sqrt 2$
$2/b<\sqrt 2 <b$ si $b>\sqrt 2$
j'ajoute membre à membre:
$(ab+2)/(2a)<\sqrt 2 <(ab+2)/(2b)$

Re: autour de racine de 2

MessagePosté: Samedi 04 Novembre 2017, 11:57
par kadtex
Je ne comprends rien, pourtant racine 2 c'est bien comme ça: $\sqrt 2 comme tu l'avais écrit ?

Re: autour de racine de 2

MessagePosté: Samedi 04 Novembre 2017, 13:00
par kojak
Bonjour,

kadtex a écrit:toujours au même niveau TS!
Je ne suis pas scolarisé, j'ai dépassé l'âge de rendre des devoirs au professeur.
Je fais ça pour mon plaisir!
C'est bien ça. Ça entretient les neurones :D

kadtex a écrit:Est ce que cela mène à quelque chose ?
Non malheureusement


kadtex a écrit:
Je ne vois pas bien quelle fonction ?
Tu poses pour $a>0, \ f(a)=\dfrac12\left(a+\dfrac2a\right)$ et tu étudies les variations.

Re: Autour de racine de 2

MessagePosté: Samedi 04 Novembre 2017, 18:58
par kadtex
$a>0, \ f(a)=\dfrac12\left(a+\dfrac2a\right)$

f'(a)=-1/x²+x/2
sur ]0;$\sqrt 2 $] f'(a)<=0 donc f décroissante
sur ] $\sqrt 2 $ ; +oo[ f'(a)>0 donc f croissante

lim f(a)=+oo en 0
lim f(a)=+oo en +oo
f($\sqrt 2 $)=$\sqrt 2 $

Je pense que c'est la même chose que pour l'étude des suite récurrentes
la droite y=a et la courbe se coupent en ($\sqrt 2 $; $\sqrt 2 $ )

Graphiquement , pour a<$\sqrt 2 $ ou a>$\sqrt 2 $, f(a) tend vers $\sqrt 2 $
Mais qu’elle est la conclusion de cette étude de f ? Est-ce que ça répond à la question posée ?

Re: Autour de racine de 2

MessagePosté: Samedi 04 Novembre 2017, 20:48
par kojak
Ce que tu as fait est correct.

Quel est donc le minimum $m$ de la fonction pour $a>0$ ? Donc tu viens de démontrer que pour tout $a>0, f(a)\geq m$$m=\ldots$

Ce ne serait pas ce que tu cherchais à démonter ?

Re: Autour de racine de 2

MessagePosté: Dimanche 05 Novembre 2017, 12:34
par kadtex
Ce ne serait pas ce que tu cherchais à démonter ?

Bien sûr !

Je n'ai pas fait attention que f admet un minimum $\sqrt 2 $ pour a=$\sqrt 2 $ et conclure !

J'ai trouvé cet exercice sur un livre de seconde 1990.
Or en seconde on étudie pas ce genre de fonction car on étudie pas les dérivées.

Je me demande s'il existe une démonstration de niveau seconde ?

Re: Autour de racine de 2

MessagePosté: Dimanche 05 Novembre 2017, 13:13
par kojak
kadtex a écrit:Je me demande s'il existe une démonstration de niveau seconde ?


Oui tu étudies le signe de la différence $\dfrac12\left(a+\dfrac2a\right)-\sqrt2=\dfrac{1}{2a}(a^2-2a\sqrt 2 +2)=\dfrac{1}{2a}(a-\sqrt 2)^2$ et c'est fini :D

Re: Autour de racine de 2

MessagePosté: Dimanche 05 Novembre 2017, 15:40
par bibi6
kojak a écrit:
kadtex a écrit:Je me demande s'il existe une démonstration de niveau seconde ?


Oui tu étudies le signe de la différence $\dfrac12\left(a+\dfrac2a\right)-\sqrt2=\dfrac{1}{2a}(a^2-2a\sqrt 2 +2)=\dfrac{1}{2a}(a-\sqrt 2)^2$ et c'est fini :D


Ah, effectivement - je ne voyais que l'argument analytique aussi, mais vu la formulation de la question, j'essayais sans succès un moyen plus algébrique d'obtenir le résultat. C'est pourquoi je ne suis pas intervenu plus tôt.

En passant, il y a une erreur sur la dérivée, sans conséquence ici. On a $f'(a) = \frac 1 2 \left ( 1 - \frac 2 {a^2}\right)$ (et non $f'(a) = \frac 1 2 \left ( a - \frac 2 {a^2}\right)$). Mais c'est plus une coquille de recopie sur le forum qu'une erreur de calcul.