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[TS] Suite (récurrence)

MessagePosté: Dimanche 24 Septembre 2006, 15:23
par cyril69210
Bonjour.

Voici mon problème :
Etudier le sens de variation de $(U_n)$ définie par :

$$U_{n+1}=U_n(1-U_n)$$



sachant que $U_0=0,5$.

Un raisonnement par récurrence est attendu.
J'ai démontré que pour $n=0$ la suite $(U_n)$ est décroissante sur $[0;1]$.

Mais je n'arrive pas à faire la suite, notamment trouver l'hypothese de récurrence.
J'aimerais quelques tuyaus car on commence juste ce type de raisonnement.

Merci d'avance.

Re: [TS] Suite (récurrence)

MessagePosté: Dimanche 24 Septembre 2006, 15:27
par MB
cyril69210 a écrit:J'ai démontré que pour $n=0$ la suite $(U_n)$ est décroissante sur $[0;1]$.


Que veut dire cette phrase ?

MessagePosté: Dimanche 24 Septembre 2006, 15:29
par cyril69210
Apres relecture : rien du tout.
J'ai essayé pour $n=0$ voila.

MessagePosté: Dimanche 24 Septembre 2006, 15:36
par guiguiche
La récurrence, c'est pour prouver que $U_n \in [0,1]$ pour tout entier naturel $n$. Ensuite le sens de variation est immédiat en utilisant la définition.

MessagePosté: Dimanche 24 Septembre 2006, 15:44
par cyril69210
Je comprend pas trop :? désolé !

pour $n=0$, $U_1<U_0$

Donc ($U_n$) est strictement décroissante sur [0;1]

maintenant faut que je demontre que $U_{n+1}<U_n$ donc que ($U_n$) est strictement décroissante sur $\N$ non ??

MessagePosté: Dimanche 24 Septembre 2006, 15:47
par guiguiche
cyril69210 a écrit:pour n=0 , $U_1<U_0$

Donc ($U_n$) est strictement décroissante sur [0;1]


Non : ... donc $u_1<u_0$ un point c'est tout !

Une suite n'est pas définie sur $]0,1[$ donc dire qu'elle est décroissante sur $[0,1]$ est une aberration sur le plan mathématique.
Mais commence par la récurrence, comme je te l'ai dit, le sens de variation s'établit tout seul ensuite (sans autre récurrence).

MessagePosté: Dimanche 24 Septembre 2006, 15:49
par cyril69210
D'accord merci je vais essayer !

C'est bon j'ai trouver sans l'aide de la récurrence le sens de variation de la suite !
Mais a mon avis un demonstration par recurrence etait demandé ..

MessagePosté: Dimanche 24 Septembre 2006, 16:48
par cyril69210
J'aurais une autre petite question !
Que veut dire le point d'exclamation ? comme ici :

$U_n$= $\dfrac{n^2}{n!}$

J'ai beau regarder ce n'est pas marqué dans mon cours.

MessagePosté: Dimanche 24 Septembre 2006, 16:50
par guiguiche
Par définition:

$$n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\dots\times2\times1$$


MessagePosté: Dimanche 24 Septembre 2006, 16:51
par cyril69210
D'accord ! je sent que je vais m'amuser... :?

MessagePosté: Lundi 25 Septembre 2006, 16:50
par Samurai_2k5
Essai $U_{n+1}/U_n < 1$ .... car $0<U_n<1$.

MessagePosté: Lundi 25 Septembre 2006, 18:02
par Arnaud
Samurai_2k5 a écrit:Essai $U_{n+1}/U_n < 1$ .... car $0<U_n<1$.


Affirmation fausse, un contre-exemple est donné par $T_n=1-\dfrac{1}{n}$

MessagePosté: Lundi 25 Septembre 2006, 21:23
par Samurai_2k5
Arnaud a écrit:
Samurai_2k5 a écrit:Essai $U_{n+1}/U_n < 1$ .... car $0<U_n<1$.


Affirmation fausse, un contre-exemple est donné par $T_n=1-\dfrac{1}{n}$


Je parlais du cas particuier de l'exercice: dans notre cas on montre que $Un<1$, et pas definition de $Un$on onbtient le resultat.

A tete reposé je dirai que $Un<1/2$ ( fonction $f(x)=x(1-x) sur [0,1]$), ce qui donne la convergence. :wink:

MessagePosté: Lundi 25 Septembre 2006, 21:28
par Samurai_2k5
Samurai_2k5 a écrit:
A tete reposé je dirai que $Un<1/2$ ( fonction $f(x)=x(1-x) sur [0,1]$), ce qui donne la convergence. :wink:


Pas utile, juste que $0<Un<1$ suffit.