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[TS] Unicité des solutions des inéquations

MessagePosté: Mardi 12 Janvier 2010, 19:35
par jashugunnm
Bonjour,
Pour la résolution d'une inéquation , j'ai doit avoir fait une erreur (bête) car j'ai deux résultats possible, mais je ne vois pas où elle est.

$\ds\frac{1}{\sqrt{b^2+1}+1} \le \frac{1}{2}$ avec $ b > 0 $

1ère méthode:
$\ds\frac{1}{\sqrt{b^2+1}+1} \le \frac{1}{2}$
$\ds\Leftrightarrow  2 \le \sqrt{b^2+1}+1 $
$\ds\Leftrightarrow 1 \le \sqrt{b^2+1}$
$\ds\Leftrightarrow \sqrt{b^2+1} \le b^2+1$ (on multiplie par $\sqrt{b^2+1}$ des deux cotés )
$\ds\Leftrightarrow \sqrt{b^2+1} -1\le b^2$

2ème méthode:
$\ds\frac{1}{\sqrt{b^2+1}+1} \le \frac{1}{2}$

$\ds\Leftrightarrow  \frac{\sqrt{b^2+1}-1}{(\sqrt{b^2+1}+1)*(\sqrt{b^2+1}-1)} \le \frac{1}{2}$

$\ds\Leftrightarrow \frac{\sqrt{b^2+1}-1}{(b^2+1)-1} \le \frac{1}{2}$

$\ds\Leftrightarrow \sqrt{b^2+1}-1\le \frac{1}{2}*b^2$

Il y a peut être un endroit où il n'y a pas d'équivalence mais seulement une implication, mais je ne vois pas , merci de m'eclairer.

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

MessagePosté: Mardi 12 Janvier 2010, 22:07
par guiguiche
Pour la première méthode, je ne vois pas l'intérêt de multiplier par $\sqrt{b^2+1}$, il suffit d'élever au carré puisque les deux membres sont strictement positifs.
Pour la seconde méthode, la multiplication par l'expression conjuguée pose problème lorsque b=0 puisqu'elle est nulle (la multiplication par $b^2$ aussi).

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

MessagePosté: Mardi 12 Janvier 2010, 22:59
par jashugunnm
comme je l'avais indiqué $b$ est strictement supérieur à $ 0$. Mon problème c'est surtout à la fin j'obtiens deux résultats différents, est-ce normal?

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

MessagePosté: Mercredi 13 Janvier 2010, 16:59
par kojak
Bonjour,
jashugunnm a écrit:Mon problème c'est surtout à la fin j'obtiens deux résultats différents, est-ce normal?

Et puis ? quel est le problème :?: tu cherches à faire quoi :?:

Si tu cherches à résoudre la première inéquation, tu trouves quoi comme solution suivant tes 2 méthodes :?:

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

MessagePosté: Jeudi 14 Janvier 2010, 10:44
par jashugunnm
L'énoncé était de trouver le résultat $ \ds \sqrt{b^2+1}-1\le \frac{1}{2}\times b^2 $ que j'ai obtenu avec la deuxième méthode, mais pendant un long moment j'étais bloqué car j'obtenais le premier résultat avec la première méthode.
Donc si je comprend on modifiant les inéquations avec des opérations ( multiplier, diviser, additionner, soustraire des deux cotés de l'inégalité par la même valeur) on obtient des implications entre deux étapes et non des équivalences.

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

MessagePosté: Jeudi 14 Janvier 2010, 13:28
par rebouxo
Les inéquations sont un poil plus pénibles. Multiplier par un négatif change le sens de l''inéquation, il faut faire attention avec les divisions par $0$. Bref, il faut vraiment faire attention.

Ici, c'est assez rapide d'étudier la fonction $f(b) = \sqrt{b^2+1}-\dfrac{1}{2}b^2$, on montre rapidement que la fonction est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$, donc que $f(b)  \leq f(0) = 1$. Après tu retrouves rapidement ton inéquation. Il me semble que c'est bien plus rapide côté calculs.

Olivier

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

MessagePosté: Jeudi 14 Janvier 2010, 15:54
par kojak
jashugunnm a écrit:Donc si je comprend on modifiant les inéquations avec des opérations ( multiplier, diviser, additionner, soustraire des deux cotés de l'inégalité par la même valeur) on obtient des implications entre deux étapes et non des équivalences.

Ici, tu as bien équivalences.

A tu essayé de résoudre tes 2 inéquations afin de voir si tu avais bien les mêmes solutions :?:

Re: [TS]Unicité des solutions des inéquations??

MessagePosté: Jeudi 14 Janvier 2010, 22:06
par Tunaki
Les deux méthodes sont justes.

Si tu regardes bien, ta première inégalité peut s'écrire $\alpha \le b^2$ et ta deuxième $2\alpha \le b^2$, avec $\alpha=\sqrt{b^2+1}-1$. Il n'y a pas de contradiction, la première méthode donne juste une inégalité plus large que la deuxième. Il est clair que la deuxième inégalité implique la première.