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Re: Un peu d'algèbre

MessagePosté: Dimanche 03 Mai 2009, 10:50
par MC
Bonjour,

Je reviens sur le théorème de Kronecker. Tu dis ne pas l'avoir dans ton cours. En fait tu l'as bien, et même dans une version plus générale

themoskito a écrit:Je vous cite mon théorème :

Soient $A$ un anneau principal et $M$ un $A$-module de longueur finie. Il existe une suite croissante d'idéaux propres $a_1A \subset ... \subset a_kA$ tels que $M \simeq A/a_1A \times \cdots \times A/a_kA$.
De plus la suite d'idéaux est uniquement déterminée par $M$


Il suffit de décoder en langage de groupes commutatifs pour obtenir le théorème de Kronecker, en faisant $A=\Z$:
$A$-module de longueur finie = groupe commutatif fini
isomorphisme de $A$-modules = isomorphisme de groupes commutatifs
idéal propre $aA$ = idéal $n\Z$ avec $n$ entier $>1$
$n\Z \subset p\Z$ = $p$ divise $n$

Si tu as plusieurs exercices tournant autour de la détermination des classes d'isomorphisme de groupes commutatifs de cardinal fini donné (y compris le cardinal 108), on attend sans doute de toi que tu appliques ce théorème. Pour 108, tu peux suivre exactement la même démarche que celle que j'ai indiquée plus haut pour 72. On a $72= 2^3\times  3^2$ tandis que $108 = 2^2\times 3^3$, il suffit d'intervertir les rôles de 2 et 3. Tu dois trouver aussi 6 classes d'isomorphisme.

Pour finir, un petit conseil $\LaTeX$ = le symbole de multiplication se code
Code: Tout sélectionner
\times
et pas
Code: Tout sélectionner
x
(qui ne fait que produire la lettre x).

Cordialement.

Re: Un peu d'algèbre

MessagePosté: Dimanche 03 Mai 2009, 16:51
par themoskito
Oui, c'est bien ce que j'avais compris MC, et c'était la raison pour laquelle je souhaitais l'appliquer. Ce que je ne comprends pas en revanche, c'est l'application du théorème elle-même... Quand je l'applique à mon $\Z$-module $\Z/4\Z$, est que le résultat est :
themoskito a écrit:themoskito a écrit:Si j'applique le théorème dans le premier cas, j'obtiendrai le résultat : \Z/4\Z \simeq \Z/2\Z x \Z/2\Z en terme de module donc.

Mais il ne peut pas y avoir d'isomorphisme, d'où ma confusion....



D'autre part, pour revenir à l'autre méthode, j'ai trouvé 4 éléments de $G$ : $e$, $a$, $b$, et $ab$.
Comment réaliser un isomophisme de $(\Z/2\Z)^2 \rightarrow  G$ ?
J'ai beau cherché, cela ne me semble pas évident....
[Edit : si en fait j'ai trouvé l'isomorphisme, désolé :oops: ]

Re: Un peu d'algèbre

MessagePosté: Dimanche 03 Mai 2009, 22:56
par MC
Mais, themoskito, peux-tu m'expliquer comment tu arrives à $\Z/4\Z $ isomorphe à $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ à partir du théorème de Kronecker? Il dit pourtant le contraire.

Re: Un peu d'algèbre

MessagePosté: Samedi 09 Mai 2009, 10:16
par themoskito
Dans le théorème que j'ai cité, le symbole "$\simeq$" signifie bien "isomorphe" non ???

MC a écrit:Soient $A$ un anneau principal et $M$ un $A$-module de longueur finie. Il existe une suite croissante d'idéaux propres $a_1A \subset ... \subset a_kA$ tels que $M \simeq A/a_1A \times \cdots \times A/a_kA$.
De plus la suite d'idéaux est uniquement déterminée par M

Re: Un peu d'algèbre

MessagePosté: Samedi 09 Mai 2009, 13:25
par MC
Bien sûr que $\simeq$ veut dire isomorphe. Mais ça ne m'explique rien du tout.

Essayons de reprendre calmement ce que dit le théorème dans le cas $M=\Z/4\Z$, puisque tu butes là-dessus.

Il dit qu'il y a une unique suite d'idéaux propres $a_1\Z\subset\ldots\subset a_k\Z$ telle que $M \simeq \Z/a_1\Z \times \cdots \times \Z/a_k\Z$. Or, par définition de $M$, on en connaît déjà une: la suite de longueur 1 composée du seul idéal $4\Z$.

La partie "unicité" du théorème nous dit donc qu'on ne peut pas avoir $M\simeq \Z/2\Z\times \Z/2\Z$, car ceci ferait une deuxième suite d'idéaux propres $2\Z\subset 2\Z$, différente de la première.

Re: Un peu d'algèbre

MessagePosté: Dimanche 10 Mai 2009, 09:38
par themoskito
Ah d'accord. Effectivement, je comprends maintenant.

Dans ce cas, avec ce théorème, j'arrive à trouver un isomorphisme de groupe. Comment appliquer ce théorème pour trouver l'autre isomorphisme qui fait intervenir le groupe $\Z/2\Z$ ?

Re: Un peu d'algèbre

MessagePosté: Dimanche 10 Mai 2009, 09:47
par MC
Si tu posais ta question de manière précise, j'aurais peut-être des chances de la comprendre. :wink:

Un isomorphisme de groupes entre quoi et quoi ? L'autre isomorphisme c'est quoi?

J'ai remarqué pour moi-même que quand on fait l'effort de bien préciser la question qu'on pose de façon à ce que son interlocuteur la comprenne sans ambiguïté, souvent la question se résoud d'elle-même.

Cordialement.