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Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Vendredi 27 Mars 2009, 10:50
par paspythagore
L'image de 1 c'est X et l'image de X c'est 1.

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$

Le polynôme caractéristique est : $P_{car} \ = (-X)^2 \ - \ 1 \ = \ (X-1)(X+1)$

Les valeurs propres -1 et 1.

Les espaces propres sont les noyaux de (f - Id) et de (f +Id) soient:

$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Vendredi 27 Mars 2009, 16:01
par MC
Ok, ça roule. Et maintenant, tu peux donner des vecteurs propres et voir quels degrés ils ont?

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Vendredi 27 Mars 2009, 16:14
par paspythagore
$X-1$ et $X+1$ tout 2 de degré 1.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Vendredi 27 Mars 2009, 17:04
par MC
D'accord, on y est. Donc à deux valeurs propres différentes peuvent correspondre de vecteurs propres dans l'espace des polynômes de même degré.
Maintenant, revenons à ton problème. La question exacte était de montrer que deux vecteurs propres associés à une même valeur propre sont de même degré, c'est bien ça?
Quelle est la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre?
Si P et Q sont deux vecteurs propre associés à la même valeur propre, quelle relation y a-t-il entre P et Q ?

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Vendredi 27 Mars 2009, 17:55
par paspythagore
D'accord, on y est.

Merci de ta patience.

La question exacte était de montrer que deux vecteurs propres associés à une même valeur propre sont de même degré, c'est bien ça?

Oui.

Quelle est la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre?

Les valeurs propres sont toutes différentes, les sous espaces propres associés sont de dimension 1 ?


Si P et Q sont deux vecteurs propre associés à la même valeur propre, quelle relation y a-t-il entre P et Q ?

Ce que je ne comprends pas c'est l'on puisse associer deux vecteurs propres à une valeur propre (qui est une racine simple du polynôme caractéristique) sans qu'ils soient colinéaires : $P \ = \ \alpha\ Q$ ?

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Vendredi 27 Mars 2009, 19:10
par MC
paspythagore a écrit:Ce que je ne comprends pas c'est l'on puisse associer deux vecteurs propres à une valeur propre (qui est une racine simple du polynôme caractéristique) sans qu'ils soient colinéaires : $P  =  \alpha\, Q$ ?


Moi non plus, je ne le comprendrais pas. Si une valeur propre est simple, son espace propre associé est de dimension 1, et deux vecteurs non nul dans cette droite vectorielle sont bel et bien colinéaires. Et s'il s'agit de polynômes, ils ont donc même ...

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Vendredi 27 Mars 2009, 19:22
par paspythagore
Même degré.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Samedi 28 Mars 2009, 10:07
par paspythagore
Merci beaucoup à MC, Guiguiche et OG pour ce cours.