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Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Mercredi 25 Mars 2009, 11:54
par MC
Ben voila...

Le fait que le polynôme caractéristique se décompose en un produit de facteurs du premier degré (autrement dit, que le polynôme caractéristique soit scindé) ne suffit absolument pas pour avoir la diagonalisabilité de la matrice. La condition suffisante à utiliser ici, c'est que le polynôme caractéristique soit scindé à RACINES SIMPLES.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Mercredi 25 Mars 2009, 13:59
par paspythagore
Merci.

Je dois finir en démontrant que les vecteurs propres associés à une même valeur propre sont de même degré.

Est ce que le fait que les valeurs propres soient distinctes 2 à 2 suffit. Quel est le degré d'un vecteur propre ?

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Mercredi 25 Mars 2009, 14:49
par guiguiche
paspythagore a écrit:Quel est le degré d'un vecteur propre ?

Les vecteurs sont des polynômes ici :wink:

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Mercredi 25 Mars 2009, 15:03
par paspythagore
Merci,
mais alors je ne comprends ce qu'il faut chercher.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Mercredi 25 Mars 2009, 15:11
par guiguiche
Je suppose que si les valeurs propres sont notées (dans l'ordre croissant) $\lambda_0<\lambda_1<\dots<\lambda_n$ alors tout vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda_k$ est un polynôme de degré $k$.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Mercredi 25 Mars 2009, 16:00
par paspythagore
Je suppose que si les valeurs propres sont notées (dans l'ordre croissant) $\lambda_0<\lambda_1<\dots<\lambda_n$ alors tout vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda_k$ est un polynôme de degré $k$.


Oui mais je pensais que c'était toujours vrai.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Mercredi 25 Mars 2009, 20:59
par guiguiche
paspythagore a écrit:Oui mais je pensais que c'était toujours vrai.

Pas du tout.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Mercredi 25 Mars 2009, 21:06
par paspythagore
Alors j'ai rien compris.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Mercredi 25 Mars 2009, 21:52
par guiguiche
La technique consiste le plus souvent à identifier les termes de plus haut degré de $\phi(P_k)$ et de $\la_kP_k$.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Mercredi 25 Mars 2009, 23:23
par paspythagore
Je suis désolé mais j'ai vraiment du mal à comprendre.
Tu n'aurais pas un exemple sur une matrice 2 ou 3.

Merci.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Jeudi 26 Mars 2009, 08:40
par MC
Bonjour,

Je prends le relais :wink:

Soit $E$ l'espace vectoriel des polynômes réels de degré $<2$. Soit $u:E\to E$ l'endomorphisme qui à $P\in E$ associe le reste de $X\,P$ dans la division par $X^2-1$. Quelles sont les valeurs propres $\lambda_1,\lambda_2$ de $u$? Est-ce que les vecteurs propres pour $\lambda_1$ ont un degré différent des vecteurs propres pour $\lambda_2$?

Cordialement.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Jeudi 26 Mars 2009, 10:12
par paspythagore
Bonjour et merci pour l'exo.

Je fais la division euclidienne $(aX^2 \ + \ bX \ + \ c) \ : \ (X^2 \ - 1) \ = \ a \ (X^2 \ - 1) \ + \ (bX \ + \ c \ a)$ (Est ce que l'on "dessiner" une division avec Latex dans ce forum ?)

Ce qui donne pour la matrice de l'endomorphisme :

$\begin{pmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 1 &0  &1 \end{pmatrix}$

Le polynôme caractéristique est : $P_{car} \ = \ -X \ (1-X)^2$

Une racine simple 0 et une racine double 1.

Pour les vecteurs propres, j'ai du mal :

J'obtiens $X^2 \ + \ 1$ pour $\lambda_0$ et $X$ pour $\lambda_1$ (qui est de dimension 1 et donc la matrice n'est pas diagonalisable).

Les vecteurs propres ont un degré différents pour les 2 valeurs propres.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Jeudi 26 Mars 2009, 18:14
par MC
Quelle est la dimension de l'espace vectoriel des polynômes de degré < 2? N'y a-t-il pas quelque chose de bizarre avec ta matrice?

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Jeudi 26 Mars 2009, 18:34
par paspythagore
J'ai fait inférieur ou égal à 2, je recommence.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Jeudi 26 Mars 2009, 19:28
par paspythagore
Je fais la division euclidienne $(aX^2 \ + \ bX ) \ : \ (X^2 \ - 1) \ = a \ + \ (a \ + \ bX) $ (Est ce que l'on "dessiner" une division avec Latex dans ce forum ?)

Ce qui donne pour la matrice de l'endomorphisme :

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}$

Le polynôme caractéristique est : $P_{car} \ = (1-X)^2$

Une racine double 1 qui est de dimension 2. Cette matrice était de façon triviale diagonale et diagonalisable.

Pour les vecteurs propres, il y en un de degré un et l'autre de degré 0....

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Jeudi 26 Mars 2009, 23:19
par MC
Ca ne va pas du tout. Essaie de réfléchir un peu. Est-ce que l'application linéaire que je t'ai proposée est vraiment l'identité?

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Vendredi 27 Mars 2009, 00:36
par paspythagore
Et pourtant, je réfléchis...



$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 &0 \end{pmatrix}$

Le polynôme caractéristique est : $P_{car} \ = -X (1-X)$

Les valeurs propres 0 et 1.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Vendredi 27 Mars 2009, 08:06
par MC
Non toujours pas.

Qu'est-ce que tu veux dire quand tu écris ça (qui n'est pas correct) :
paspythagore a écrit:$(aX^2 \ + \ bX ) \ : \ (X^2 \ - 1) \ = a \ + \ (a \ + \ bX)$


Pas besoin de dessiner des divisions euclidiennes. Il suffit d'écrire (pour la division euclidienne de $A$ par $B$):

$$A= B\,Q + R  \mbox{ avec } \deg R < \deg B \mbox{ ou } R=0.$$



Cordialement.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Vendredi 27 Mars 2009, 09:38
par paspythagore
Bonjour,

je veux dire que le reste de $X\,P$ dans la division par $X^2-1$ avec P un polynôme de la forme $aX \ + \ b$ est $\ (a \ + \ bX)$

Ce que je voulais dire (au lieu de l'énormité que j'ai écrite), c'est : $(aX^2 \ + \ bX )  \ =  a \ (X^2 \ - 1) \ +\ \ (a \ + \ bX)$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$

Le polynôme caractéristique est : $P_{car} \ = -X (1-X)$

Les valeurs propres 0 et 1.

Les espaces propres $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

Les vecteurs propres sont $1 \ + \  X$ et $ X$ ?

Je suis désolé de vous poser des questions d'un niveau si bas mais si je pouvais acquérir définitivement les notions de vecteurs propres et de matrice d'endomorphisme, ça me permettrait d'avancer.

Re: Endomorphisme de polynôme

MessagePosté: Vendredi 27 Mars 2009, 10:14
par MC
Non, encore raté!
Tu écris la matrice de l'application linéaire dans la base de monômes (1,X). Quelle est l'image de 1? Quelle est l'image de X?

Ensuite, quel sens cela a quand tu écris
paspythagore a écrit:Les espaces propres \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 &0 \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

Duis les choses clairement : les espaces propres sont les noyaux de etc.