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Fibonacci et nombre d'or

MessagePosté: Dimanche 15 Mars 2009, 01:49
par Tolbo
Bonjour,

comment prouver que :

$$F_n = \dfrac{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}$$



J'ai tenté une récurrence mais en vain.

Re: Fibonacci et nombre d'or.

MessagePosté: Dimanche 15 Mars 2009, 08:26
par EricK
Par récurrence, un calcul direct fonctionne ... même si ce n'est pas une bonne idée.

Demandez vous quelles sont les suites géométriques vérifiant $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ et utilisez la structure d'espace vectoriel des suites vérifiant une telle relation.

Re: Fibonacci et nombre d'or

MessagePosté: Dimanche 15 Mars 2009, 17:18
par Tolbo
En posant $F_n =a*q^n$ je trouve que $q = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} $ ou $q = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} $ mais ne vois pas quoi en faire.

Re: Fibonacci et nombre d'or

MessagePosté: Dimanche 15 Mars 2009, 18:17
par EricK
L'espace des suites vérifiant cette relation est de dimension deux et tu as trouvé deux suites géométriques linéairement indépendantes vérifiant la relation. Tu as donc une base de l'espace et toute suite de l'espace s'écrit comme combinaison linéaire de tes deux suites géométriques ... en particulier la suite de Fibonacci.

Re: Fibonacci et nombre d'or

MessagePosté: Dimanche 15 Mars 2009, 18:42
par Tolbo
EricK a écrit:L'espace des suites vérifiant cette relation est de dimension deux


Comment le deviner ?


Sinon pour la suite : on a donc $ F_n = aq_1 +bq_2$ et on trouve a et b grâce aux premiers termes.

Re: Fibonacci et nombre d'or

MessagePosté: Dimanche 15 Mars 2009, 19:30
par EricK
Le fait que ce soit un sev de l'espace des suites réelles ne pose pas de problème. On note $S$ l'ev des suites vérifiant cette relation. Il suffit de prouver que l'application $\varphi\colon S\to\mathbb{R}^2$ définie par $\varphi(u_n)=(u_0,u_1)$ est un isomorphisme d'ev.


Sinon, ne pas oublier les puissances dans ta formule :
$F_n=aq_1^n+bq_2^n$