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[L2] Division Euclidienne et nombres premiers (résolu)

MessagePosté: Jeudi 20 Novembre 2008, 21:32
par Hiruma
Bonjour,

J'ai 2 exercices où je bloque complètement.

Pour le premier : "Déterminer tous les entiers naturels $n$ tels que $n+1$ divise $n^2+1$". J'ai tenté une division Euclidienne, mais je n'ai pas de résultat. Je soupçonne que $n$ peut uniquement prendre les valeurs $0$ ou $1$ ie que $n+1$ ne divise pas $n^2+1,  \forall n  \in \N -\{0;1\}$. En utilisant une démonstration par récurrence, je n'arrive pas à prouver l'implication $P(n)$ vraie $=> P(n+1)$ vraie.

Pour le deuxième : "Démontrer que l'entier $ \ds\sum_{i=0}^{26} 2^i$ n'est pas premier". Je n'ai pas la mondre idée si ce n'est que ce nombre est impair en posant $ \ds\sum_{i=0}^{26} 2^i= 2\ds\sum_{i=1}^{26} 2^{i-1}+1$.

Merci de votre soutien.

Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

MessagePosté: Jeudi 20 Novembre 2008, 22:02
par guiguiche
2) Déjà, tu peux exprimer ce nombre sans le symbole somme. Ensuite détermine les reste modulo 3, 5, 7, ... des entiers de la forme $2^n$ en fonction de $n$.

Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

MessagePosté: Jeudi 20 Novembre 2008, 22:28
par OG
Si $n+1$ divise $n^2+1$ alors $n+1$ divise $n^2+1-(n+1)$.

O.G.

Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

MessagePosté: Jeudi 20 Novembre 2008, 22:43
par Hiruma
C'est sympathique comme méthode :D . Je vois clairement que le reste de $2^{n}$ modulo 7 donne une suite (de 27 nombres) (1,2,-3,1,2,-3...). Si on somme chaque terme, on trouve que $ \ds\sum_{i=0}^{26} 2^i  \equiv 0 [7]$.

Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

MessagePosté: Vendredi 21 Novembre 2008, 10:18
par Hiruma
OG a écrit:Si $n+1$ divise $n^2+1$ alors $n+1$ divise $n^2+1-(n+1)$.


J'étais parti comme cela au départ, mais je ne sais pas ce que je dois faire resortir...

Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

MessagePosté: Vendredi 21 Novembre 2008, 13:54
par MC
Bonjour,

Je partirais plutôt comme ça (en suivant plus ou moins l'idée de l'algorithme d'Euclide) : si $n+1$ divise $n^2+1$, alors il divise aussi $n^2+1 - (n+1)(n-1)$...

Cordialement,

MC

Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

MessagePosté: Vendredi 21 Novembre 2008, 14:46
par Hiruma
Bonjour,

Est-ce que quelque chose comme : "$(n+1)|(n^2+1) => (n+1)|(n^2+1-(n+1)(n-1)) => (n+1) | 2 => n=0$ ou $n=1$" est suffisant ? Je l'avais écrit mais ça me semblait trop simple...

Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

MessagePosté: Vendredi 21 Novembre 2008, 20:45
par bibi6
Bonsoir,

Pour moi ta réponse à 1) est OK.

Par contre, ton argument à la question 2) devrait (selon moi) être un peu plus développé... mais tu as une bonne piste.
N'étant pas spécialement "arithméticien", j'aurais personnellement suivi la première idée de guiguiche (i.e., calculer la sommation), et j'y aurais fait apparaître un produit remarquable ("différence de cubes").

Re: [L2] Division Euclidienne et nombres premiers

MessagePosté: Vendredi 21 Novembre 2008, 22:22
par Hiruma
Je vais developper l'idée du 2), mais je pense que ça ira.

Merci à tous.