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Topologie

MessagePosté: Dimanche 12 Octobre 2008, 15:26
par jeje56
Bonjour,

Je travaille sur l'exo suivant :
MQ c(N), l'espace vectoriel des suites convergentes de C est un fermé de $l^\infty(N)$

Voilà ma démarche :
On prend une suite $(u_n)_{n \geq 0}$ de suites convergentes, on suppose qu'elle converge vers une suite u pour la norme infinie. On note $l_n$ la limite de la suite $(u_n(k))_{k \geq 0}$
1) Montrer que la suite (complexe) $(l_n)_{n \geq 0}$ converge : montrer qu'elle est de Cauchy
2) On note l la limite de (l_n). Montrer que u converge vers l

Voilà ma rédaction pour le 1) :

$\large\forall k \forall \epsilon \ge 0, \exists N / \forall m,n \ge N ||u_n(k)-u_m(k)|| \le \epsilon$
Donc, en faisant tendre k vers l'infini :
$\large||l_n-l_m|| \le \epsilon$
Ce qui prouve que $l_n$ est de Cauchy dans $l^\infty$ et donc convergente : soit l sa limite.

Est-ce exact ? Pour le 2) je ne parviens pas clairement à MQ u -> l...

Merci bcp !

Re: Topologie

MessagePosté: Dimanche 12 Octobre 2008, 15:46
par OG
Bonjour

Concernant la démarche tu en fais un tout petit trop.
Il suffirait de montrer que la suite $u$ est de Cauchy, donc converge.

pour le 1) c'est un peu rapide mais je suis d'accord.
Pour le 2) il faut y aller à coups de $\varepsilon$. Soit $\varepsilon>0$,
avec l'inégalité triangulaire $|u(k)-l|\leq |u(k)-u_n(k)|+|u_n(k)-l_n|+|l_n-l|$ et
des bons choix ça devrait marcher.

O.G.