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Série

MessagePosté: Samedi 27 Septembre 2008, 17:01
par José
Bonjour,
une petite question qui me turlupine (peut être très simple...je n'ai plus les idées très claires) :
Soient $(a_n)_{n\geq 0}$ et $(c_n)_{n\geq 0}$ deux suites dont les termes sont positifs ou nuls.
Supposons que la série $\sum\limits_{n\geq 0}c_n$ converge et que la suite $(a_n)_{n\geq 0}$ soit bornée et telle que pour tout entier naturel $n$ $a_n\leq\sum\limits_{k=n}^{\infty}c_ka_k$ alors pourquoi peut-on dire que $a_n=0$ à partir d'un certain rang ?
Auriez vous une indication à me donner ?

Re: Série

MessagePosté: Dimanche 28 Septembre 2008, 13:59
par kilébo
Tout d'abord si $(a_n)_{n\geq 0}$ est une suite positive et bornée et $\sum\limits_{n\geq 0}c_n$ est une série à termes positifs qui converge alors $\sum\limits_{n\geq 0}c_n a_n$ est aussi une série à termes positifs convergente. Tu sais dire pourquoi ?

Une fois que tu sais démontrer ça, alors il suffit de dire que $\sum\limits_{k=n}^{\infty}c_ka_k$ est le reste d'une série convergente et tend donc vers 0. Le théorème des gendarmes (ou des 3 suites) répond alors à ta question.

Amicalement,
Vincent

Re: Série

MessagePosté: Dimanche 28 Septembre 2008, 16:45
par José
Salut Vincent,
Pour la première oui j'avais déjà remarqué, si $0\leq a_n\leq M$ alors $0\leq a_nc_n\leq M c_n$ et donc $\sum\limits_{n\geq 0}a_nc_n\leq M\sum\limits_{n\geq 0}c_n\;<\infty$
Par contre avec $a_n\leq\sum\limits_{k=n}^{\infty}a_kc_k$, le "théorème" des trois suites permet seulement de dire que $a_n\to 0$ or le but (dans mon problème) est de montrer que $a_n=0$ à partir d'un certain rang...pas pareil...ou alors je n'ai pas compris ta remarque...non ?

Re: Série

MessagePosté: Dimanche 28 Septembre 2008, 18:24
par P.Fradin
Bonjour,

Une idée: soit $A_n=\mathrm{Sup}\{a_k\text{ / } k\geq n\}$. Cette suite est définie positive décroissante (et même de limite nulle), A partir d'un certain rang $N$ on a $\sum_{n}^{+\infty} c_k < \frac 12$. Si $A_N\neq 0$, alors il existe un rang $p\geq N$ tel que $\frac{A_N}2<a_p$, mais alors:

$$\frac{A_N}2<a_p\leq \sum_p^{+\infty} c_ka_k\leq \frac{A_N}2$$


ce qui est absurde, donc $A_N=0$.

Re: Série

MessagePosté: Dimanche 28 Septembre 2008, 18:31
par José
Bravo et merci Monsieur Fradin,
tout y est :D ça à l'air tellement simple maintenant, c'est rageant... :cry:
Encore merci

Re: Série

MessagePosté: Dimanche 28 Septembre 2008, 22:38
par kilébo
José a écrit:Salut Vincent,
Pour la première oui j'avais déjà remarqué, si $0\leq a_n\leq M$ alors $0\leq a_nc_n\leq M c_n$ et donc $\sum\limits_{n\geq 0}a_nc_n\leq M\sum\limits_{n\geq 0}c_n\;<\infty$
Par contre avec $a_n\leq\sum\limits_{k=n}^{\infty}a_kc_k$, le "théorème" des trois suites permet seulement de dire que $a_n\to 0$ or le but (dans mon problème) est de montrer que $a_n=0$ à partir d'un certain rang...pas pareil...ou alors je n'ai pas compris ta remarque...non ?


Ok, j'ai perdu l'occasion de me taire.

Merci !

Amicalement,
Vincent.