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Série

MessagePosté: Mardi 16 Septembre 2008, 21:36
par Tolbo
Bonjour,

lorsque l'on veut étudier la convergence d'une série, il y a t-il des astuces pour savoir quels techniques utiliser (critère de Cauchy, d'Alembert, Bertrand, Riemann, équivalence ...).

Par exemple pour :
$ \sum  \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}} $
$ \sum \dfrac{1}{n.sin^2(n)}$
et encore
$ \sum sin^2(\dfrac{1}{n}) \dfrac{\sqrt{n^2+n+1}-1}{n^\alpha}$ avec $\alpha > 2$

Qu'est-ce qui vous indique qu'elles méthode serait susceptible de fonctionner ?

Merci

Re: Serie

MessagePosté: Mardi 16 Septembre 2008, 21:39
par guiguiche
1 et 3 : équivalent

Re: Serie

MessagePosté: Mardi 16 Septembre 2008, 22:02
par Tolbo
$\sum \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}}  \sim  \sum \dfrac{1}{n}$ donc ça diverge


$\sqrt{n^2+n+1}-1 \sim \sqrt{n^2}=n$
donc
$ \sum sin^2(\dfrac{1}{n}) \dfrac{\sqrt{n^2+n+1}-1}{n^\alpha}   \sim \sum sin^2(\dfrac{1}{n}) \dfrac{1}{n^\alpha^-^1} \sim \dfrac{1}{n^\alpha^-^1}$ donc ça converge d'après le critère de Bertrand

Faut-il justifier chaque équivalence ?

Re: Serie

MessagePosté: Mardi 16 Septembre 2008, 22:07
par guiguiche
Tolbo a écrit:$\sum \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}}  \sim  \sum \dfrac{1}{n}$ donc ça diverge

Les termes généraux sont équivalents.

Pour l'autre, un équivalent du terme général est $\dfrac{1}{n^{\alpha+1}}$.
On conclut avec Riemann.

Re: Serie

MessagePosté: Mardi 16 Septembre 2008, 22:13
par Tolbo
Oui je pensais que si les termes généraux etaient équivalent en l'infini il en serait de même pour les séries mais après réflexion je me rends bien compte que non.

Re: Serie

MessagePosté: Mercredi 17 Septembre 2008, 12:57
par kilébo
Tolbo a écrit:$\sum \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}}  \sim  \sum \dfrac{1}{n}$


Ce genre de chose se voit à l'oeil nu ?

Moi, j'aurais branché le microscope...

Amicalement,
Vincent.

Re: Série

MessagePosté: Mercredi 17 Septembre 2008, 13:39
par balf
Oui (je ne sais plus quelle était la question, mieux vaut positiver... ; ah ! l'œil nu). C'est parce que $n^{1/n}$ tend vers 1, donc son carré aussi.

B.A.

Re: Série

MessagePosté: Mercredi 17 Septembre 2008, 13:49
par kilébo
Ah oui, tu as raison mais j'avoue que, pour moi, cela n'avait rien d'évident.

Tout comme $\dfrac{1}{n^{1+2/n}} \sim \dfrac{1}{n} \Rightarrow \sum \dfrac{1}{n^{1+2/n}} \sim \sum \dfrac{1}{n}$ n'avait rien d'évident pour moi en première lecture.

Mais j'ai compris maintenant (enfin j'espère ;)) : tu parles de l'équivalence des sommes partielles sont équivalentes, car divergentes et de termes généraux équivalents.

Amicalement,
Vincent.

Re: Série

MessagePosté: Mercredi 17 Septembre 2008, 14:50
par balf
C'est le critère de convergence par équivalents pour les séries à termes positifs : elles convergent ou elles divergent simultanément.

B.A.

Re: Série

MessagePosté: Mercredi 17 Septembre 2008, 18:42
par Tolbo
Et pour le deuxième avec un DL voila ce que j'obtiens :

$\sum \dfrac{1}{n.sin^2(n)}=\sum \dfrac{1}{n.(n+o(n))^2}=\sum \dfrac{1}{n.(n^2+o(n))}=\sum \dfrac{1}{n^3+o(n)}$

donc ça converge

Re: Série

MessagePosté: Mercredi 17 Septembre 2008, 19:18
par kojak
bonjour,

Ecrire ce genre de chose est pour moi une grosse énormité :D A partir du moment où tu écris $\sum$ ça signifie pour moi que ça converge.... donc ça ne va pas du point de vue de la rédaction :!:

Il faut seulement regarder le terme général c'est à dire $\dfrac{1}{n\sin^2 n}$.

De plus es tu sûr de $\sin^2 n=n^2+o(n)$ : tu as trouvé ça où :?:

Re: Série

MessagePosté: Mercredi 17 Septembre 2008, 19:49
par Tolbo
je pensais que le $\sum $ indiquer seulement que c'était une somme.

Et pour le sinus et bien j'ai fais l'absurdité d'utiliser le DL en zéro pour m'en servir lorsque ça tend vers l'infini