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Méthode de Newton

MessagePosté: Samedi 01 Mars 2008, 18:54
par Bourasland
Bonjour à tous, je suis nouveau sur ce forum et j'aimerais avoir de l'aide sur une question d'une partie d'un problème.
Voici le début de l'énoncé, (je noterais la dérivée première et seconde d'une fonction $f$respectivement par $f^{(1)}(x)$ et $f^{(2)}(x_0)$)

Soit $f\in C^2([a,b], \mathbb{R})$, convexe, telle que $f(a)<0$, $f(b)>0$, $f^{(1)}(a)>0$.
$f(x)=0$ admet une et une seule solution $\lambda\in ]a,b[$.
On choit $x_0\in]\lambda,b[$ et on pose,

$\fbox{x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{(1)}(x_0)}}$

1) vérifier que que $M_1(x_1,0)$ est le point d'intersection de la tangente à la courbe $C_f$ de $f$ en $x_0$ avec l'axe des abscisses. (c'est bon j'ai trouvé)
2) En appliquant le théorème des accroissements finis, montrer qu'il existe un réel $c_0\in]\lambda,x_0[$ tel que

$\fbox{x_1-\lambda=(x_0-\lambda)(\frac{f^{(1)}(x_0)-f^{(1)}(c_0)}{f^{(1)}(x_0)})}$ ça aussi j'ai trouvé...

c'est la question suivante que j'aimerais avoir de l'aide :

3) Montrer qu'il existe un réel $d_0\in]\lambda,x_0[$ tel que

$\fbox{x_1-\lambda=(x_0-\lambda)(x_0-c_0)(\frac{f^{(2)}(d_0)}{f^{(1)}(x_0)})}$

apparemment, il faut utiliser le théorème de rolle, car le théorème des accroissement finis ne nous permet pas d'obtenir une dérivée seconde.
Quelqu'un pourrait t-il m'aider s'il vous plaît ? (ça serait dommage que je laisse cette question non faite en plein milieu du problème alors que j'ai réussi à faire tout le reste... :? )

Merci d'avance :wink:

Re: Méthode de Newton

MessagePosté: Samedi 01 Mars 2008, 19:09
par OG
bonsoir

J'ai raté quelque chose ou suffit-il d'appliquer les accroissements finis
à $f'(x_0)-f'(c_0)$ ?

O.G.

Re: Méthode de Newton

MessagePosté: Samedi 01 Mars 2008, 19:21
par Bourasland
eh bien c'est ce que j'ai fais au début , puis en remplaçant dans l'expression de la question 2, on trouve bien le résultat demandé, mais mon prof m'a dit que c'était faux, il ne faut pas faire comme ceci... :shock:

Re: Méthode de Newton

MessagePosté: Samedi 01 Mars 2008, 23:12
par Bourasland
personne pour m'aider ? :roll:

Re: Méthode de Newton

MessagePosté: Samedi 01 Mars 2008, 23:38
par Bourasland
j'ai écrit:
Comme $f$ est continue sur $[c_0,x_0]$ et dérivable sur $]c_0,x_0[$,
D'après le théorème des accroissements finis, il existe un réel $d_0\in]c_0,x_0[$ tel que :

$f^{(1)}(x_0)-f^{(1)}(c_0)=f^{(2)}(d_0)(x_0-c_0)$

en remplacant dans le résultat de la questions 2) on trouve bien le résultat.

mais est ce que c'est juste ?

Re: Méthode de Newton

MessagePosté: Dimanche 02 Mars 2008, 09:51
par lafayette
Bourasland a écrit:j'ai écrit:
Comme $f$ est continue sur $[c_0,x_0]$ et dérivable sur $]c_0,x_0[$,
D'après le théorème des accroissements finis, il existe un réel $d_0\in]c_0,x_0[$ tel que :

$f^{(1)}(x_0)-f^{(1)}(c_0)=f^{(2)}(d_0)(x_0-c_0)$

en remplacant dans le résultat de la questions 2) on trouve bien le résultat.

mais est ce que c'est juste ?

Attention, ici ce n'est pas à la fonction $f$ que tu appliques le théorème des accroissements finis mais à la fonction $f^{(1)}$. OUF : la fonction $f$ est $C^2$ sur $[a;b]$ ! Sinon, je ne vois pas pourquoi ce que tu dis serait faux. ça me semble correct...