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Racines n-ièmes de l'unité

MessagePosté: Jeudi 31 Janvier 2008, 20:57
par MT
Bonjour à tous,

J'ai un petit problème avec un calcul : résolution de l'équation

$$ \left( \frac{x+i}{x-i} \right) ^{2n+1} =1$$

.

A priori, $ \left( \frac{x+i}{x-i} \right) ^{2n+1} =1\Longleftrightarrow \exists k \in [0,2n+1]\cap \mathbb{N}, \frac{x+i}{x-i}=e^{i\frac{2k\pi}{2n+1}} $. Mais ce n'est pas vrai pour $k=0$. Je n'ai jamais rencontré ce problème, et je ne comprends même d'où il peut bien provenir. En principe, avec ce genre de choses, on résout par équivalence tout du long ! Je ne comprend pas ce qui se passe !

Re: racines $n$-ièmes de 1

MessagePosté: Jeudi 31 Janvier 2008, 21:03
par dark_forest
Si ca marche, juste que l'équation $X^{2n+1}=1$ admet $2n+1$ solutions, toi tu en as pris $2n+2$.

Re: racines $n$-ièmes de 1

MessagePosté: Jeudi 31 Janvier 2008, 21:05
par OG
MT a écrit:Bonjour à tous,

J'ai un petit problème avec un calcul : résolution de l'équation

$$ \left( \frac{x+i}{x-i} \right) ^{2n+1} =1$$

.

A priori, $ \left( \frac{x+i}{x-i} \right) ^{2n+1} =1\Longleftrightarrow \exists k \in [0,2n+1]\cap \mathbb{N}, \frac{x+i}{x-i}=e^{i\frac{2k\pi}{2n+1}} $. Mais ce n'est pas vrai pour $k=0$. Je n'ai jamais rencontré ce problème, et je ne comprends même d'où il peut bien provenir. En principe, avec ce genre de choses, on résout par équivalence tout du long ! Je ne comprend pas ce qui se passe !


Bonsoir

En fait ça ne pose pas de problème. Il est clair que $(x+i)/(x-i)=1$ n'a pas de solution, donc forcément tu enlèves au moins
une des racines n-èmes possible.
Il y a une autre explication (a posteri) si tu développes les termes en $x^{2n+1}$ s'éliminent, d'où un polynôme de degré
$2n$ à résoudre, soit $2n$ solutions au plus.

Cordialement
O.G.

Re: racines $n$-ièmes de 1

MessagePosté: Jeudi 31 Janvier 2008, 21:33
par guiguiche
Il reste encore à résoudre l'équation $\dfrac{x+i}{x-i}=\exp\left(\dfrac{2ik\pi}{2n+1}\right)$ pour tout $k\in\llbracket1,2n\rrbracket$.

Re: racines $n$-ièmes de 1

MessagePosté: Jeudi 31 Janvier 2008, 21:58
par MT
si $n$ est fixé, et pas trop grand, je veux bien qu'on s'amuse à faire ballader $k$ dans l'intervalle, mais je ne vois pas comment le faire pour $n$ quelconque. C'est un peu par harsard que j'ai remplacé $k$ par 0 pour voir que c'était incompatible, et c'est ce qui m'inquiète un peu je dois dire. :?

Re: racines $n$-ièmes de 1

MessagePosté: Jeudi 31 Janvier 2008, 22:04
par guiguiche
Pour chaque valeur de l'entier $k$, l''équation à résoudre est une brave équation du premier degré donc à la portée d'un élève de CPGE :wink:

Re: Racines n-ièmes de l'unité

MessagePosté: Jeudi 31 Janvier 2008, 22:21
par MT
je sais que $n$ est fixé par rapport à $k$, mais on travail pour tout $n$ dans l'exercice.
Tout ce que j'arrive à faire, c'est réarranger l'équation pour pouvoir lire $x$ et voir s'il est défini. Ca permet d'éliminer $k=0$, mais le fait qu'on soit obligé d'abandonner les équivalences en cours de route, j'ai plus vraiment confiance.
Je pense que je dois juste m'y faire, et je crois que l'explication de OG va m'y aider. C'est juste que j'avais jamais vu ça et que ça me donnait l'impression de travailler avec des implications inversée $\Longleftarrow$ :mrgreen:

Enfin, je vous remercie tous les deux
Passez une bonne nuit !