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Projections vectorielles

MessagePosté: Lundi 10 Décembre 2007, 19:57
par Tunaki
Bonjour!

Soient $E_1$ et $E_2$ deux ssev de $E$ tel que $E=E_1\oplus E_2$. Tout vecteur de $E$ s'écrit donc de manière unique $u=u_1+u_2$ telle que $u_1\in E_1$ et $u_2\in E_2$. L'application $\pi$ de $E$ dans $E$ telle que $\pi(u)=u_1$ est la projection vectorielle sur $E_1$ parallèlement à $E_2$.

On a montré que $\pi\circ\pi=\pi$ et que $\pi\in\mathcal{L}(E)$.
Maintenant, il faut calculer $\text{Im}\pi$ et $\text{ker}\pi$.

Soit $u\in\text{ker}\pi$. Alors $\pi(u)=0$ donc $u_1=0$. Donc $\text{ker}\pi=E_2$.
Soit $u\in\text{Im}\pi$. Alors $u=\pi(v)$ avec $v=v_1+v_2$ tel que $v\in E$, $v_1\in E_1$ et $v_2\in E_2$. Donc $\pi(v)=v_1=u$. Donc $\text{Im}\pi=E_1$

Est-ce que cela va niveau rédaction ?

Après, on considère $E=\R^3$. Soit $D$ la droite dirigée par le vecteur $\vect{u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ et $P$ le plan vectoriel d'équation $x+y-2z=0$. Il faut montrer que $E=D\oplus P$

Il est facile de montrer que $P$ et $D$ sont des ssev et que leur intersection est réduite au vecteur nul. Par contre j'ai un souci pour la somme.
J'essaie d'écrire $u\in\R^3$ comme somme deux deux vecteurs dans $P$ et $D$.

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda\\0\\-\lambda\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ tel que $\lambda,a,b,c\in R$
Il vient facilement $b=y$

Pour les autres, je trouve $\lambda=\dfrac{x+y-2z}{3}$, $a=x-\lambda$ et $c=x-\lambda$ (je n'ai pas encore remplacé). Je me demande si ceci est juste car ça me semble bizarre.
Pouvez-vous m'aider ?

Re: Projections vectorielles

MessagePosté: Lundi 10 Décembre 2007, 20:27
par dark_forest
Oui ton calcul me parait bizzare également, mais pourquoi ne pas calculer la dimension de $P+D$ ?

Re: Projections vectorielles

MessagePosté: Lundi 10 Décembre 2007, 20:29
par Arnaud
Tunaki a écrit:Soit $u\in\text{ker}\pi$. Alors $\pi(u)=0$ donc $u_1=0$. Donc $\text{ker}\pi=E_2$.


Avec ce que tu dis, il n'y a pas égalité, mais juste inclusion ( l'autre inclusion est assez évidente ).

Tunaki a écrit:Soit $u\in\text{Im}\pi$. Alors $u=\pi(v)$ avec $v=v_1+v_2$ tel que $v\in E$, $v_1\in E_1$ et $v_2\in E_2$. Donc $\pi(v)=v_1=u$. Donc $\text{Im}\pi=E_1$


Pareil.

Tunaki a écrit:Après, on considère $E=\R^3$. Soit $D$ la droite dirigée par le vecteur $\vect{u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ et $P$ le plan vectoriel d'équation $x+y-2z=0$. Il faut montrer que $E=D\oplus P$

Il est facile de montrer que $P$ et $D$ sont des ssev et que leur intersection est réduite au vecteur nul. Par contre j'ai un souci pour la somme.
J'essaie d'écrire $u\in\R^3$ comme somme deux deux vecteurs dans $P$ et $D$.

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda\\0\\-\lambda\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ tel que $\lambda,a,b,c\in R$
Il vient facilement $b=y$

Pour les autres, je trouve $\lambda=\dfrac{x+y-2z}{3}$, $a=x-\lambda$ et $c=x-\lambda$ (je n'ai pas encore remplacé). Je me demande si ceci est juste car ça me semble bizarre.
Pouvez-vous m'aider ?


Alors là, j'aurais tendance à dire que dans $\R^3$, une droite et un plan qui ne sont pas parallèles ni confondus sont en somme directe...sans chercher à faire tout ça.

Re: Projections vectorielles

MessagePosté: Lundi 10 Décembre 2007, 20:35
par guiguiche
La notion de dimension n'est peut-être pas encore abordée aussi.

Re: Projections vectorielles

MessagePosté: Lundi 10 Décembre 2007, 20:42
par Tunaki
Dimension de $P+D$ ? J'ai jamais entendu parler de dimension :?

@Arnaud
Oui en effet, mais comme $\text{ker}\,\pi\subset E_2$ car si on prend $u\in\text{ker}\,\pi$, $u=u_2\in E_2$, on a l'égalité.

Alors là, j'aurais tendance à dire que dans \R^3, une droite et un plan qui ne sont pas parallèles ni confondus sont en somme directe...sans chercher à faire tout ça.


C'est plus simple en effet. :D

Par contre, juste pour savoir, est-ce que le calcul que je faisais était juste ?

Re: Projections vectorielles

MessagePosté: Lundi 10 Décembre 2007, 20:50
par guiguiche
C'est convenable tes calculs (pas vérifié mais la méthode est bonne).
Si tu n'as pas vu la dimension, conserve tes calculs comme argumentation. L'autre est réservée aux connaissances sur la dimension.

Re: Projections vectorielles

MessagePosté: Lundi 10 Décembre 2007, 20:55
par Arnaud
Tunaki a écrit:@Arnaud
Oui en effet, mais comme $\text{ker}\,\pi\subset E_2$ car si on prend $u\in\text{ker}\,\pi$, $u=u_2\in E_2$, on a l'égalité.


Clairement.
Dans ta rédaction, soit tu raisonnes par équivalences directes ( si c'est possible ), soit tu écris proprement les deux implications, mêmes si elles sont évidentes.
Dans ce que tu as écrit au-dessus, il n'y avait qu'une seule implication de sous-entendu.

Re: Projections vectorielles

MessagePosté: Lundi 10 Décembre 2007, 21:01
par Tunaki
OK!

Merci de vos aides :)