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Inversion de la TZ pole simple réel et multiple exo4

MessagePosté: Dimanche 20 Mai 2007, 12:43
par celtic
Bonjour


$X_{(z)}=\dfrac{z^2+2z+1}{(z-1)^3}$



Etape 1 les degrées


Ici$d=3-2=1$

Le premier écantillon non nulle est$x_1$

Etape 2 Equation caractéristique


Ici pour n>1 on a un pole triple $z=1$

On a une série de la forme $(C_1+C_2n^2)(1)^n$


Etape 3 Calculs des résidus


$X_{(z)}z^{n-1} =\dfrac{(z^2-2z+1)z^{n-1}}{(z-1)^3}$

$X_{(z)}z^{n-1} =\dfrac{d^2}{dz}(z^2-2z+1)z^{n-1}$

Pareil je sais pas trop comment traiter le dérivée carré?

Re: Inversion de la TZ pole simple réel et multiple exo4

MessagePosté: Dimanche 20 Mai 2007, 13:22
par kojak
Bonjour,
Le début est correct...

celtic a écrit:On a une série de la forme $(C_1+C_2n^2)(1)^n$
idem comme l'exo 2, il me semble tu as $(C_1+C_2 n+C_3n^2)(1)^n=C_1+C_2n+C_3n^2$ car $1^n=1$....
celtic a écrit:
Etape 3 Calculs des résidus

$X_{(z)}z^{n-1} =\dfrac{d^2}{dz}(z^2-2z+1)z^{n-1}$
Pareil je sais pas trop comment traiter le dérivée carré?
C'est une dérivée seconde... et il ne faut pas oublier devant le $\dfrac{1}{2!}$ : le plus simple tu développes, tu dérives 2 fois de suite et tu remplaces : ici c'est simple :wink:

MessagePosté: Dimanche 20 Mai 2007, 14:57
par celtic
$\dfrac{d^2}{dz}(z^2-2z+1)z^{n-1}=\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dz}[2(z-1)z^{n-1}+(z-1)^2(n-1)z^{n-1}]$

et là çà ce complique n'y a t'il pas une astuce puisque je crois que c'est simple :?:

MessagePosté: Dimanche 20 Mai 2007, 15:02
par kojak
Le plus simple est de développer directement au début $(z^2-2z+1)z^{n-1}$ et ensuite de dériver 2 fois de suite... :wink:

MessagePosté: Dimanche 20 Mai 2007, 15:21
par celtic
$\dfrac{d^2}{dz}(z^2-2z+1)z^{n-1}=\dfrac{1}{2}[\dfrac{d^2}{dz}z^2z^{n-1}+2z.z^{n-1}+z^{n-1}]$

$=\dfrac{1}{2}[\dfrac{d}{dz}2z.z^{n-1}+z^2(n-1)z^{n-2}+2z^{n-1}+2z(n-1)+(n-1)z^{n-2}]$

$=\dfrac{1}{2}[2.z^{n-1}+2z(n-1)z^{n-2}+2z(n-1)z^{n-2}+z^2(n-1)(n-2)z^{n-3}+z^{n-1}$

$+2(n-1)z^{n-2}+2(n-1)z^{n-1}+2z(n-1)(n-2)(n-3}+(n-1)(n-2)z^{n-3}$

MessagePosté: Dimanche 20 Mai 2007, 15:26
par kojak
T'as oublié un $z^{n-2}$ dans l'avant dernier... mais simplifie au fur et à mesure
$z^2z^{n-1}+2zz^{n-1}+z^{n-1}=z^{n+1}+2z^n+z^{n-1}$ et dérive : c'est beaucoup plus simple :roll: et ça évite les erreurs de calculs :wink:

MessagePosté: Dimanche 20 Mai 2007, 15:33
par celtic
$=\dfrac{1}{2}[\dfrac{d}{dz}2z.z^{n-1}+z^2(n-1)z^{n-2}+2z^{n-1}+2z(n-1)+(n-1)z^{n-2}]$


$=\dfrac{1}{2}[\dfrac{d}{dz}2z.z^{n-1}+(n-1)z^{n}+2z^{n-1}+2z(n-1)+(n-1)z^{n-2}]$

MessagePosté: Dimanche 20 Mai 2007, 15:41
par kojak
celtic a écrit: $=\ldots+2z(n-1)+\ldots$
ici il te manque le $z^{n-2}$ : car tu as dérivé $z^{n-1}$
Ensuite avant de dériver tu peux encore simplifier tes puissances : et tu obtiens :
$=\dfrac{1}{2}\left(2z^n+(n-1)z^n+2z^{n-1}+2(n-1)z^{n-1}+(n-1)z^{n-2}\right)$ que tu peux encore regrouper en $\dfrac{1}{2}((n+1)z^n+2nz^{n-1}+(n-1)z^{n-2})$ ce que tu aurais obtenu directement avec mon conseil précédent :wink:

MessagePosté: Dimanche 20 Mai 2007, 15:52
par kojak
Oui, c'est bon mais tu peux encore regrouper tes puissances.

MessagePosté: Dimanche 20 Mai 2007, 16:02
par celtic
$=\dfrac{1}{2}\left(2z^n+(n-1)z^n+2z^{n-1}+2(n-1)z^{n-1}+(n-1)z^{n-2}\right)$

$=\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dz}z^n(n+1)+2nz^{n-1}+(n-1)z^{n-2}=\left[\dfrac{1}{2}(n.z^{n+1}(n+1)+2n(n-1)z^{n-2}+(n-1)(n-2)z^{n-3})\right]_{z=1}$

MessagePosté: Dimanche 20 Mai 2007, 16:07
par kojak
Oui, c'est bon : tu n'as plus qu'à remplacer $z$ par 1 et simplifier le tout pour obtenir un polynôme de degré 2 en $n$...

MessagePosté: Dimanche 20 Mai 2007, 16:21
par celtic
$X_{z}z^{n-1}=\dfrac{1}{2}[n(n+1)+2n(n-1)+(n-1)(n-2)]=2n^2-2n+1$

MessagePosté: Dimanche 20 Mai 2007, 16:22
par kojak
Oui le résultat final est correct : dans la formule devant, tu as oublié les parenthèses après le $\dfrac{1}{2}$