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Inégalité de Young

MessagePosté: Samedi 17 Mars 2007, 19:35
par Pythix
Bonsoir,
voici mon exercice :

soit f une fonction définie sur R+ à valeurs dans R, dérivable, strictement croissante et telle que f(0)=0.

1)pour tout x>0 montrer que
$\int\limits_{0}^{x} f(t)dt$+$\int\limits_{0}^{f(x)} f^{-1}(t)dt$=$xf(x)$
Interpréter géométriquement.

ceci ne m'a pas posé de problème, j'ai posé g : x->$\int\limits_{0}^{x} f(t)dt$+$\int\limits_{0}^{f(x)} f^{-1}(t)dt$-$xf(x)$
et j'ai montré que c'était la fonction nulle.
interprétation géométrique : ok.

2)En déduire que, pour tout a,b>0
$\int\limits_{0}^{a} f(t)dt$+$\int\limits_{0}^{b} f^{-1}(t)dt<p align = \$\$\geq ab\$
 et que l'égalité se produit si et seulement si b=f(a)
 
 en appliquant chasles au résultat de 1) :
 \$\int\limits_{0}^{a} f(t)dt\$+\$\int\limits_{0}^{b} f^{-1}(t)dt\$\$

= af(a)$" title = "$\int\limits_{0}^{b} f^{-1}(t)dt

\$\$\geq ab\$
 et que l'égalité se produit si et seulement si b=f(a)
 
 en appliquant chasles au résultat de 1) :
 \$\int\limits_{0}^{a} f(t)dt\$+\$\int\limits_{0}^{b} f^{-1}(t)dt\$\$

= af(a)$" style = "vertical-align:-10.4pt" /> - $\int\limits_{b}^{f(a)} f^{-1}(t)dt$
mais après je vois plus...

Merci d'avance pour toute aide.

MessagePosté: Samedi 17 Mars 2007, 22:54
par Tryphon
T'as répondu quoi à l'interprétation graphique ? Si c'est ce que je pense, ton dessin doit pouvoir faire deviner la réponse à la deuxième question.

J'ai l'impression que pour celle-là il faut distinguer les cas $f(a) > b$ et $f(a) < b$.

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 08:20
par guiguiche
Fixe $a$ et pose $h(b)=\int\limits_{0}^{a} f(t)dt+\int\limits_{0}^{b} f^{-1}(t)dt-ab$. Etudie alors les variations de cette fonction $h$.

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 10:00
par Pythix
quand h est décroissante il faut calculer la limite en +infini ?
et est ce que la fonction auxiliaire suffit pour le "l'égalité se produit si et seulement si b=f(a)" ?

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 10:02
par guiguiche
Pythix a écrit:quand h est décroissante il faut calculer la limite en +infini ?

Tu as dû commettre une erreur dans l'étude des variations.

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 10:06
par Pythix
ben,
j'ai posé g(a)=$\int\limits_{0}^{a} f(t)dt$+$\int\limits_{0}^{b} f^{-1}(t)dt - ab$

j'ai g'(a)=f(a) - b

f(a)>b g croissante et g(0)>0 donc g positive
f(a)=b g est constante et g(0)=0
f(a)<b g est décroissante...

non?

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 10:22
par guiguiche
Dans ton choix, $a$ est la variable (et $b$ est un paramètre fixé) donc ton étude de signe est très incomplète.

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 10:30
par Pythix
on a a,b>0
mais je vois pas trop quels cas manquent... :oops:

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 10:37
par guiguiche
Lorsque tu écris "f(a)>b", la variable a n'est pas fixée. L'étude de signe du g'(a) dépend des valeurs de a.

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 10:43
par Pythix
ben f(a)>b ne revient pas à a>f^-1(b) ?

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 10:44
par guiguiche
Si. Mais as-tu dressé le tableau de signe de g'(a) ?

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 10:53
par Pythix
on a

_________________________
|...a..| 0.........$f^{-1}(b)$........+inf|
|------|-------------|-----------------|
|g'(a)|......--.......0.........+..........|

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 10:59
par guiguiche
Donc c'est fini, non ?

Edit : ne pas oublier de justifier le signe à l'aide des variations de f.

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 11:02
par Pythix
ben, quand g est décroissante je vois pas comment on justifie le fait qu'elle reste positive, il faut calculer la limite ?

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 11:02
par guiguiche
Il y a un minimum qui vaut ... ?

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 11:07
par Pythix
quel imbécile!!!!!! je me cache... on va mettre ca sur le manque de sommeil, ou sinon je retourne en seconde... :oops:

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 11:09
par guiguiche
Bah ça arrive à tout le monde de ne pas voir des choses évidentes parfois.

MessagePosté: Dimanche 18 Mars 2007, 11:16
par Pythix
en tout cas merci...