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[PSI] calcul de valeurs propres

MessagePosté: Samedi 20 Janvier 2007, 15:48
par themoskito
je dois calculer les valeurs propres de la matrice suivante :


matrice n lignes, n colonnes
des $0$ dans la diagonale
des $a$ dans la partie supérieure
des $b$ dans la partie inférieure.

avec $a$ et $b$ réels différents de 0.

J'ai cherché à calculer le polynome caractéristique, mais je n'arrive pas à obtenir de forme factorisé...


merci pour votre aide.

MessagePosté: Samedi 20 Janvier 2007, 15:55
par kojak
On commence toujours ses messages par un
BONJOUR,....

Bonjour,
Tu n'aurais pas une formule donnée par hasard....

MessagePosté: Samedi 20 Janvier 2007, 16:00
par Tryphon
Un truc pour les déterminants avec des $a$ en dessous de la diagonale, des $b$ au-dessus et des $c$ sur la diagonale :

Regarde la fonction $f(x) = $ le déterminant de la matrice obtenue en rajoutant $x$ à tous les coefficients. Démontre que $f$ est une fonction affine en faisant des opérations sur les lignes/colonnes, calcule $f(a)$, $f(b)$ et déduis-en $f$.

Ton déterminant est alors $f(0)$.

Applique ça ici.

MessagePosté: Samedi 20 Janvier 2007, 19:11
par themoskito
oups, désolé pour le bonjour :oops:

donc... avant tout bonjour.

ensuite :


Un tuc pourles déterminants avec des en dessous de la diagonale, des au-dessus et des sur la diagonale :

Regarde la fonction le déterminant de la matrice obtenue en rajoutant à tous les coefficients. Démontre que est une fonction affine en faisant des opérations sur les lignes/colonnes, calcule , et déduis-en .

Ton déterminant est alors .

Applique ça ici.




oui je connaissais cette méthode, mais je ne vois pas en quoi elle peut m'aider pour trouver les valeurs propres.... Sinon en voyant que 0 n'est pas valeur propre... mais c'est tout non ?

MessagePosté: Samedi 20 Janvier 2007, 19:38
par kojak
Le problème c'est qu'on n'a pas compris ta matrice...
alors va lire http://www.mathematex.net/phpBB2/latex-vt9.html
afin de la poster.

MessagePosté: Dimanche 21 Janvier 2007, 13:58
par themoskito
[center]$\begin{array}{|c|c|c|}  \hline   0 & a & a \\  \hline   b & 0 & a \\  \hline   b & b & 0 \\  \hline  \end{array}$[/center]


désolé j'ai un peu du mal avec latex...
pour n=3 on obtiendrait ceci...

MessagePosté: Dimanche 21 Janvier 2007, 14:04
par Tryphon
Donc la matrice $M - \lambda I$ est de la forme que j'ai dite (avec $c = - \lambda$).

MessagePosté: Dimanche 21 Janvier 2007, 14:06
par guiguiche
Code: Tout sélectionner
$\begin{pmatrix}
0 & a & a \\
b & 0 & a \\
b & b & 0 \\
\end{pmatrix}$

qui donne : $\begin{pmatrix}
 0 & a & a \\
 b & 0 & a \\
 b & b & 0 \\
 \end{pmatrix}$

MessagePosté: Dimanche 21 Janvier 2007, 17:11
par themoskito
oui évidement...
Je suis désolé j'avais pris $c=0$ pour retrouver la matrice initiale, sans réfléchir...

merci bien.