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Probabilités

MessagePosté: Dimanche 16 Octobre 2005, 12:34
par toto50
Bonjour,

Pouvez vous m'aider pour le problème suivant :

Un livreur de pizza doit servir un client qui se trouve à 6 Kilomètres et qui désire être servi à 20h00 précisemment. Le livreur se déplace en mobylette dont la vitesse moyenne est 36 km/h. Les phases d'accèlération et de décélération sont négligées dans ce problème. Sur ce trajet, le livreur s'arrête 60 secondes lorsqu'il arrive à un feu orange, puis il repart. Le livreur s'arrête 30 secondes lorsqu'il arrive à un feu rouge, puis il repart. La probabilité que le feu soit vert lorsqu'il arrive est de 0.5 et celle qu'il soit orange 0.25. Soit T la variable aléatoire correspondant au "temps en minutes mis par le liveur pour arriver à destination". (Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles)

1) Calculer la probabilité p(T=11) en justifiant le calcul, et donner la loi de probabilité de la variable aléatoire T.

2) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire T et représenter sa fonction de répartition.

3) Le livreur part à 19h49.

a) Quelle est alors la probabilité pour le livreur d'arriver en retard ?
b) Quelle est la probabilité pour le livreur d'arriver en avance ?

Merci de votre aide.

[Edit : MB] Eviter les titres en majucules. Sujet déplacé dans la rubrique "Exercices et problèmes".

MessagePosté: Dimanche 16 Octobre 2005, 15:45
par maskou
Bonjour

Il me semble qu'il manque une donnée dans ton énoncé: combien ton livreur va-t-il avoir de feux sur son chemin?
En effet, ton livreur a d'autant plus de chances de se prendre un feu rouge qu'il a beaucoup de feux sur sa route, de plus comme question temps 1 orange = 2 rouges plus il y a de feux plus le nombre de façons de mettre 11 minutes augmente...

MessagePosté: Lundi 17 Octobre 2005, 19:55
par maskou
bonsoir

sachant après ton mp qu'il y a deux feux "synchronisés et indépendants" (ce que j'ai du mal à comprendre: s'ils sont synchronisés ils ne sont pas indépendants...) je vais les supposer indépendants.

Alors comme 6km à 36km/h se parcourent en 10 min, reste à voir comment perdre 1 min.

$P(T=11) =$ proba d' avoir deux feux rouges ou 1 vert et 1 orange

Feu1 rouge et feu2 rouge: $p_1=0.25\times0.25=0.0625$
Feu1 orange et feu2 vert: $p_2=0.25\times0.5=0.125$
Feu1 vert et feu2 orange: $p_3=0.5\times0.25=0.125$

d'où $P(T=11)=p_1+p_2+p_3=0.3125$


On voit au passage que T peut prendre les valeurs 10 (2 feux verts), 10.5 (1 feu vert un feu rouge), 11 (cf ci-dessus) 11.5 (un orange 1 rouge) et 12 (2 oranges)

on a alors des calculs similaires pour $P(T=10.5)$ etc... et alors
<center>$E(T)=10 \times P(T=10)+10.5 \times P(T=10.5) + \hdots$</center>

Enfin la proba d'être en retard vaut $P(T>11)=P(T=11.5)+P(T=12)$
Celle d'être en avance vaut $P(T<11)=P(T=10)+P(T=10.5)$

Voila il reste quelques menus calculs mais cela semble faisable...