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Test d'arrêt, méthode de Newton

MessagePosté: Samedi 06 Avril 2019, 18:37
par othiprof
Bonjour,
je me demande pourquoi le test d'arrêt $\mid u_{n+1}-u_{n} \mid < 10^{-p}$ pour la méthode de Newton (tangentes) est-il viable ?
Le serait-il pour toute méthode d'approximation ?
Merci.

Re: Test d'arrêt, méthode de Newton

MessagePosté: Dimanche 07 Avril 2019, 08:46
par guiguiche
En théorie, je ne pense pas que ce soit suffisant, sauf renseignement complémentaire sur la fonction (convexité je crois). En pratique, on ne peut pas faire beaucoup mieux sans conjuguer à une autre méthode qui fournirait des suites adjacentes.

Re: Test d'arrêt, méthode de Newton

MessagePosté: Lundi 08 Avril 2019, 09:14
par OG
Bonjour

En général les tests d'arrêts sont parmi le nombre d'itérations, tester $|u_{n+1}-u_n|<\varepsilon$ ou tester $|f(u_n)|$ (inférieur à une tolérance).
Il est toujours possible (convergence lente, fonction proche de zéro) de voir que ce n'est pas optimal, mais on ne peut pas toujours faire mieux.
Pour une méthode de Newton, pour une initialisation de la suite "pas trop loin de $l$" ou vérifie le critère de convergence ($f(u_0)f''(u_0)>0$ + intervalle sur lequel $f'$ et $f''$ ne s'annulent pas) alors ce critère d'arrêt (sans oublier pas plus de $Nmax$ itérations) marche bien.
Pour le vérifier, majorer $u_{n+2}-u_{n+1}$ par $u_{n+1}-u_n$ (apparaît $f''/f'$), etc.

Pas la peine de prendre $p>15$...

O.G.