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Limite d'une suite

MessagePosté: Samedi 23 Mars 2019, 09:25
par evariste_G
En voulant construire un exercice, je me suis retrouvé face à cette suite : $\left\lbrace\begin{array}{ll} x_0 & \in \mathbb{R} \\ x_{n+1}& =\frac{1}{2}\left(x_n+\sqrt{x_n^2+\frac{1}{4^n}}\right)\end{array}\right.$

Dans mon exercice, $x_0=0$ mais le problème reste valable pour toute valeur réelle : cette suite converge, mais je n'arrive pas à trouver le moyen de trouver la valeur de sa limite autrement que par simulation informatique (donc peu intéressant mathématiquement parlé).

Quelqu'un aurait-il une idée par hasard ?

Re: Limite d'une suite

MessagePosté: Samedi 23 Mars 2019, 17:01
par guiguiche
Je ne sais pas répondre à ton problème (i.e. exprimer la limite en fonction du premier terme de la suite) mais :
  • La suite est strictement positive à partir du rang 1
  • Pour tout entier naturel n : $x_{n+1}-x_{n}=\dfrac{1}{x_{n+1}4^{n+1}}$
  • La suite est strictement croissante
  • Pour tout entier n>0 : $0\leqslant x_{n}-x_{1}\leqslant\dfrac12$
  • La suite est majorée donc convergente
  • Sa limite $\ell$ vaut : $\ell=x_{0}+\ds\sum_{k=1}^{+\infty}{\dfrac{1}{x_{k}4^{k}}$
  • Avec l'encadrement de $x_n$, on a l'encadrement suivant de la limite : $x_0+\dfrac{1}{3\left(x_1+\frac12\right)}\leqslant\ell\leqslant x_0+\dfrac{1}{3x_1}$ ou encore $x_0+\dfrac{2}{3\left(1+x_0+\sqrt{1+x_0^2}\right)}\leqslant\ell\leqslant x_0+\dfrac{2}{3\left(x_0+\sqrt{1+x_0^2}\right)}$
Ce dernier résultat est vérifié graphiquement avec Scilab et $\ell\approx x_{1000}$ :
Code: Tout sélectionner
x0=[0:0.1:5] ; L=zeros(x0) ; n=1000
for i=1:length(x0)
    x=x0(i)
    for k=1:n
        x=(x+sqrt(x^2+4^(1-k)))/2
    end
    L(i)=x
end
plot2d(x0,L,5)
plot2d(x0,x0+2/3 ./(1+x0+sqrt(1+x0.^2)),2)
plot2d(x0,x0+2/3 ./(x0+sqrt(1+x0.^2)),3)

Re: Limite d'une suite

MessagePosté: Mardi 26 Mars 2019, 10:44
par evariste_G
Les encadrements sont intéressants. C'est mieux que rien :D

Merci. Je regarderai quand j'aurai à nouveau du temps ce que je peux en faire.

Re: Limite d'une suite

MessagePosté: Mardi 26 Mars 2019, 11:33
par guiguiche
Même avec $x_0$ seulement aux alentours de 5, il n'y a pas une grande différence entre $x_0$ et $\ell$ puisque ta suite converge particulièrement vite ($1/4^n$ à un facteur près). La différence est visible pour $x_0$ aux alentours de 0, je n'ai pas regardé pour les valeurs négatives.