Page 1 sur 1

Probléme Suite numérique

MessagePosté: Jeudi 13 Décembre 2018, 20:48
par celtic
Bonjour à tous

Deux sociétés spécialisées dans le commerce de voitures, les sociétés « Bonne Route » et« Voyage », se partagent un marché stable de 20 millions de clients.
Au 1er janvier 2018, la société « Bonne Route » compte 16 millions de clients et la société « Voyage » compte 4 millions de clients.
Les prévisions du marché laissent apparaître que, chaque année, la société « Bonne Route » perdra 20 % de ses clients au profit de la société « Voyage » et que la société « Voyage » perdra elle aussi 20 % de ses clients au profit de la société « Bonne Route ».
Soit $ U $
$n$ le nombre de client (en millions) de la société « Voyage » au 1er janvier de l’année $2019+n$. On déduit de l’énoncé que $U_0 = 4$
a) Montrer que $U_1 = 6,4$.
b ) Montrer que pour tout entier $n$ $U_{n+1}= 0,6U_n + 4$

comment j'aborde le problème ?

On est sur une suite arithmétique de la forme $U_{n+1}=U_n +nr$

Est ce correct pour le moment
La raison est :
$r=\left(16-20\%\right)+\left (4+20\%\right)=4$

Merci d'avance

Celtic

Re: Probléme Suite arithmétique

MessagePosté: Vendredi 14 Décembre 2018, 11:51
par celtic
Bonjour à tous

Voici mon début

reponse a)

La suite arithmétique est de la forme
$U_{n+1}=U_n +r$
$U_0=4$
$U_1=(0.2\times 16-0.2\times 4)+ 4=6.4$

Pour la b je ne vois pas trop

Merci d'avance
Celtic

Re: Probléme Suite arithmétique

MessagePosté: Vendredi 14 Décembre 2018, 16:31
par kojak
Bonjour Celtic,

Ah,ça faisait longtemps qu'on ne t'avait pas vu ici :D

Ici, tu n'as pas une suite arithmétique.

Il faut introduire 2 suites : la suite $U_n$ comme tu le fais, mais également la suite $V_n$ qui correspond à l'autre société, car les 2 suites dépendent l'une de l'autre.

Donc ici il faut déjà arriver à exprimer $U_{n+1}$ et $V_{n+1}$ en fonction de $U_n$ et $V_n$.

Ensuite, qd tu pers 20% de qque chose, cela revient à multiplier par $1-0.2=0.8$ : OK ?

Tu as donc avec l'énoncé ceci : $U_{n+1}=0.8 U_n + 0.2 V_n$ et $V_{n+1}=0.2U_n+0.8 V_n$ : OK ?

Tu remarques alors que : relation 1 : $U_{n+1}+V_{n+1}=U_n+V_n$ donc cette suite est constante et donc égale à $U_0+V_0=20$ d'où l'on tire relation 3 : $V_n=20-U_n$.

Tu as également : relation 2 : $U_{n+1}-V_{n+1}=0.6(U_n-V_n)$ d'où en ajoutant la relation 1 et la relation 2, tu obtiens $2U_{n+1}=0.6(U_n-V_n)+20$ et avec la relation 3 en remplaçant $V_n$ par son expression en fonction de $U_n$, tu vas obtenir la réponse voulue.

Voili, voilà.

A bientôt

Re: Probléme Suite numérique

MessagePosté: Samedi 15 Décembre 2018, 11:41
par celtic
Salut Kojak

Et oui de retour :wink: , comme quoi on peut etre accroc et aimer les maths, pour moi ça me donne du peps de resoudre et d"etre aider ici

Merci encore :D

Pour le probléme cité j'ai compris

$U_{n+1}=0.8 U_n + 0.2 V_n$
$V_{n+1}=0.2U_n+0.8 V_n$
Si on ajoute
$U_{n+1}$ et $V_{n+1}$
on a :
$U_{n+1}+V_{n+1}=U_n+V_n$ qui est une constante égale à 20

Donc si
$U_n+V_n = 20$
Alors
$U_n= 20-V_n$

Si on soustrait

$U_{n+1}$ et $V_{n+1}$
on a :
$U_{n+1}-V_{n+1}=0,6(U_n-V_n)$

la difficulté de ce probleme est d'écrire $U_{n+1}$ et $V_{n+1}$
et ensuite de les ajouter et les soustraire et là c'est pas évident sur le moment :idea:

Re: Probléme Suite numérique

MessagePosté: Samedi 15 Décembre 2018, 16:02
par kojak
Bonjour,

celtic a écrit:c'est pas évident sur le moment :idea:

Oui, car là tu n'as aucune indication sur la façon de procéder, donc faut se triturer un peu les méninges :wink:

Une remarque : comme tu as ici $U_{n+1}-V_{n+1}=0.6(U_n-V_n)$ cela signifie que la suite $U_n - V_n$ est géométrique de raison $q=0.6$ de premier terme $U_0-V_0=-12$ si je n'ai pas inversé les 2 sociétés.

Et comme la somme $U_n+V_n$ est constante, tu peux en déduire directement l'expression générale de $U_n$ en fonction de $n$.