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Théorème d'Ostrowski

MessagePosté: Mardi 13 Novembre 2018, 19:56
par othiprof
Bonjour...
je suis à la recherche d'une démonstration...

Soit $A=[a_{i,j}] $ et soit $\displaystyle L_i=\sum_{j=1, j \ne i}^{n} {\mid a_{ij} \mid}$ et $\displaystyle C_j=\sum_{i=1, i \ne j}^{n} {\mid a_{ij} \mid}$.

Si $\lambda$ est valeur propre de $A$, alors, pour tout $\alpha$ de [0 , 1], il existe $i$ de $\{ 1, ..., n\}$ tel que :

$\displaystyle \mid \lambda - a_{i,i} \mid \le L_i^\alpha C_i^{1-\alpha}$

Sachant que d'après Gerschgörin et Hadamard, il existe $i$ de $\{ 1, ..., n\}$ tel que :

$\displaystyle \mid \lambda - a_{i,i} \mid \le L_i$ et $\displaystyle \mid \lambda - a_{i,i} \mid \le C_i$

Quelqu'un pourrait-il me venir en aide ?

Re: Théorème d'Ostrowski

MessagePosté: Mardi 13 Novembre 2018, 22:26
par othiprof
Il semblerait que ce soit plus simple que ce que je pensais...
En utilisant la propriété suivante : Si $x \ge 0$, $a \ge 0$, $b \ge 0$, $0 \le \alpha \le 1$, alors :
($x \le a$ et $x \le b$) $\Rightarrow$ ($x \le a^\alpha b^{1-\alpha }$),
par croissance des fonctions $x \mapsto x^\alpha$ et $x \mapsto x^{1 -\alpha}$ puis par produit des inégalités terme à terme...
Si quelqu'un peut me confirmer... je suis preneuse!
Sinon, bonne soirée, bonne journée, à tous.

Re: Théorème d'Ostrowski

MessagePosté: Mercredi 14 Novembre 2018, 08:28
par OG
Bonjour

C'est un peu moins simple. Par Gerschgörin et Hadamard les deux indices selon ligne ou selon colonne ne sont pas
nécessairement égaux. Ce n'est donc pas une conséquence immédiate.
Il y a une preuve dans le livre de Rombaldi, il faut (pour $\lambda=0$) repartir sur les équations vérifiées par le vecteur propre et utiliser Hölder.

(j'avoue que je ne connaissais pas ce théorème)

O.G.

Re: Théorème d'Ostrowski

MessagePosté: Mercredi 14 Novembre 2018, 19:41
par othiprof
Merci de ne pas m'avoir laissée avec mon erreur!
Oui, Rombaldi... je vais me le procurer.
Bonne soirée et encore merci.
OL

Re: Théorème d'Ostrowski

MessagePosté: Mercredi 14 Novembre 2018, 22:34
par OG
Les quelques pages disponibles sur Google permettent de comprendre la preuve.
(en attendant d'avoir le livre)

O.G.