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isométries vectorielles en dimension 3

MessagePosté: Lundi 22 Octobre 2018, 14:46
par othiprof
Bonjour,
soit f une isométrie vectorielle d'un espace vectoriel euclidien de dimension 3.
On note Inv(f) l'ensemble des vecteurs invariants par f soit, Inv(f) = Ker(f - id).
"Si Inv(f) = {0}, alors Inv(f²) est une droite vectorielle" ... c'est vrai ? Pourquoi ?
Merci à qui serait susceptible de me répondre...
OL

Re: isométries vectorielles en dimension 3

MessagePosté: Lundi 22 Octobre 2018, 17:33
par kojak
Bonjour,

Une isométrie $f$ de $\R^3$ sans invariant est donc la composée d'une rotation d'axe $E_{-1}$ et de la réflexion par rapport au plan $E_{-1}^\perp$ de matrice dans une Bonne Base Orthonormale Directe BOND :
$\begin{pmatrix}   -1 & 0 & 0\\ 0 & \cos \theta & -\sin\theta\\ 0& \sin\theta & \cos\theta  \end{pmatrix}$

Il suffit alors de calculer la matrice de $f^2$, toujours dans cette bonne base :
$\begin{pmatrix}   1 & 0 & 0\\ 0 & \cos2 \theta & -\sin2\theta\\ 0& \sin2\theta & \cos2\theta  \end{pmatrix}$ qui est la matrice d'une rotation d'angle $2\theta$


Remarque : $E_{-1}$ est le sous espace propre associé à la valeur propre $-1$

Re: isométries vectorielles en dimension 3

MessagePosté: Lundi 22 Octobre 2018, 17:40
par othiprof
Ah, ben oui. Merci beaucoup!!!