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Polynôme d'un endomorphisme

MessagePosté: Mardi 25 Septembre 2018, 14:26
par othiprof
Bonjour,
une idée pour montrer que, $u$ étant un automorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie, $u^{-1}$ est un polynôme en $u$ ?
D'accord, le polynôme caractéristique de $u$ annule $u$, ce qu'on pourrait noter $P(u)=0$...
Dans ce cas, il me semble que la fraction rationnelle $\displaystyle \frac{XP(X)+1}{X}$ appliquée à $u$ donne $u^{-1}$...
Mais cette fraction n'est pas un polynôme, je ne pense pas...
Help ?

Re: Polynôme d'un endomorphisme

MessagePosté: Mardi 25 Septembre 2018, 16:16
par kojak
Bonjour,
othiprof a écrit:une idée pour montrer que, $u$ étant un automorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie, $u^{-1}$ est un polynôme en $u$ ?
D'accord, le polynôme caractéristique de $u$ annule $u$, ce qu'on pourrait noter $P(u)=0$...

Oui, et que peux tu dire du terme constant de ce polynôme vu que c'est un auto ? Et quelle est la définition de $u^{-1}$ ? $

Re: Polynôme d'un endomorphisme

MessagePosté: Mardi 25 Septembre 2018, 17:09
par othiprof
Aaaaaaaah!
Si on note $P$ le polynôme caractéristique de $u$ avec $\displaystyle P(X)=\sum_{i=0}^{n} a_i X^{i}$, on a le terme constant $a_0=(-1)^n det(u)$ et il est non nul car $u$ est un automorphisme.
Ainsi on a : $\displaystyle P(u) = \sum_{i=1}^{n}a_i u^{i} + (-1)^n det(u) id=0$
D'où : $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i u^{i}=(-1)^{n-1} det(u) u^{-1} u$
Ou encore : $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i u^{i-1}=(-1)^{n-1} det(u) u^{-1} $

Et pour finir : $\displaystyle u^{-1}=\frac{(-1)^{n-1}}{det(u)}\sum_{i=1}^{n}a_i u^{i-1} $, et c'est donc bien un polynôme en $u$.

C'est bien ça ? Ouh, merci, je pataugeais dans la semoule.
D'ailleurs, je n'ai pas sorti une grosse ânerie en écrivant que la fraction rationnelle $\displaystyle \frac{XP(X)+1}{X} $appliquée à $u$ donnait $u^{-1}$?

Re: Polynôme d'un endomorphisme

MessagePosté: Mardi 25 Septembre 2018, 19:17
par kojak
othiprof a écrit:C'est bien ça ?
Oui mais j’écrirais plutôt à partir de $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i u^{i} + (-1)^n det(u) id=0$

$\displaystyle  u\left(\sum_{i=1}^{n}a_i u^{i-1}\right) =  (-1)^{n-1} \det(u) id$
soit $\displaystyle  u\left(\frac{ (-1)^{n-1}}{\det(u)}\sum_{i=1}^{n}a_i u^{i-1}\right) =  id$ c'est à dire que $u$ est inversible et son inverse est $\displaystyle\frac{ (-1)^{n-1}}{\det(u)}\sum_{i=1}^{n}a_i u^{i-1}$

Re: Polynôme d'un endomorphisme

MessagePosté: Mardi 25 Septembre 2018, 19:53
par othiprof
Ah oui, bien vu (sans le "=0" dans la deuxième ligne...)
Merci!

Re: Polynôme d'un endomorphisme

MessagePosté: Mercredi 26 Septembre 2018, 06:57
par kojak
othiprof a écrit:(sans le "=0" dans la deuxième ligne...)


Oups, les joies du copier coller, j'ai corrigé, merci.