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Convergence d'une série

MessagePosté: Mardi 11 Septembre 2018, 14:13
par othiprof
Bonjour à tous,
en supposant la suite $(u_n)$ positive et la série $\sum n^2 u_n^2$ convergente, comment prouver que $\sum u_n$ converge ?
Merci!

Re: convergence d'une série

MessagePosté: Mardi 11 Septembre 2018, 20:38
par OG
Il y a des critères, peut-être que l'un s'applique ?

Re: convergence d'une série

MessagePosté: Mercredi 12 Septembre 2018, 05:53
par othiprof
$0 \le u_n=\sqrt{u_n^2} \le \sqrt{n^2 u_n^2} \le n^2 u_n^2$
Or la série de terme général $n^2 u_n^2$ converge donc, par comparaison des séries à termes positifs, $\sum u_n$ converge.
Pourrait convenir il me semble bien...
Je ne saurais comment vous remercier.

Re: convergence d'une série

MessagePosté: Mercredi 12 Septembre 2018, 07:20
par OG
Non, l'inégalite $\sqrt{a}\leq a$ est fausse pour $0<a<1$ et c'est ce cas qui intéresse.
Il y a d'autres critères, il faut chercher...
(il y a aussi une autre façon avec une inégalité standard)

O.G.

Re: Convergence d'une série

MessagePosté: Mercredi 12 Septembre 2018, 09:35
par balf
Puisque la série est à termes positifs, on peut en récrire le terme général

$$u_n=\sqrt{n^2u_n^2\cdot\frac1{n^2}$$

et utiliser l'inégalité moyenne géométrique-moyenne arithmétique.

B. A.

Re: Convergence d'une série

MessagePosté: Mercredi 12 Septembre 2018, 11:54
par othiprof
Inégalité standard : $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$ .

D'où : $u_n=\sqrt{n^2 u_n^2 \frac{1}{n^2}} \le \frac{n^2 u_n^2+\frac{1}{n^2}}{2}$ .

Les séries de termes généraux $n^2 u_n^2$ et $\frac{1}{n^2}$ étant convergentes toutes les deux, la série de terme général $\frac{1}{2}(n^2u_n^2+\frac{1}{n^2})$ est elle-même convergente.
Enfin, par une propriété de comparaison des séries à termes positifs, la série $\sum u_n$ converge.
J'espère n'avoir pas fait d'erreur, cette fois.
Merci beaucoup.
OL

Re: Convergence d'une série

MessagePosté: Mercredi 12 Septembre 2018, 12:43
par balf
C'est exactement ça.
B. A.

Re: Convergence d'une série

MessagePosté: Mercredi 12 Septembre 2018, 12:55
par othiprof
:) ouf, merci!