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Un nombre irrationnel

MessagePosté: Mercredi 11 Juillet 2018, 13:19
par adem19s
bonjour
Comment prouver que $ \sin(\dfrac{\pi}{18}) $ est un nombre irrationnel?

Re: Un nombre Irrationnel

MessagePosté: Mercredi 11 Juillet 2018, 16:32
par balf
En posant $s=\sin\frac\pi{18}$, on sait que

$$\sin\Bigl( 3\cdot\frac\pi{18}\Bigr)=\frac12=3s-4s^3,$$


de sorte que $8s^3-6s+1=0$, ou, en posant $S=2s$, $S$ vérifie l'équation $S^3-3S+1=0$;

Si l'on suppose $S$ rationnel, cette équation a donc une racine rationnelle. Mais il n'y a pas beaucoup de choix pour une racine rationnelle à une telle équation…

B. A.

Re: Un nombre Irrationnel

MessagePosté: Samedi 14 Juillet 2018, 12:43
par adem19s
balf a écrit:En posant $s=\sin\frac\pi{18}$, on sait que

$$\sin\Bigl( 3\cdot\frac\pi{18}\Bigr)=\frac12=3s-4s^3,$$


de sorte que $8s^3-6s+1=0$, ou, en posant $S=2s$, $S$ vérifie l'équation $S^3-3S+1=0$;

Si l'on suppose $S$ rationnel, cette équation a donc une racine rationnelle. Mais il n'y a pas beaucoup de choix pour une racine rationnelle à une telle équation…

B. A.

Je peux montrer que l'équation $ S^3-3S+1+0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\left[  0;\dfrac{1}{2}\right]$
parce que $\sin\dfrac{\pi}{18}$ est compris entre $0$ et $\dfrac{1}{2}$.
puis j'utilise l'absurde pour démontrer que $\sin\dfrac{\pi}{18}$ est irrationnel .

Re: Un nombre Irrationnel

MessagePosté: Samedi 14 Juillet 2018, 12:53
par balf
Inutile de localiser $\sin\dfrac\pi{18}$ ni d'invoquer une contradiction : on peut utiliser le résultat que, si un polynôme à coefficients entiers a une racine rationnelle,$\dfrac ab$ (fraction irréductible), alors le numérateur divise le terme constant et le dénominateur divise le coefficient dominant. Ici, on obtient que les seules racines rationnelles possibles sont $\pm 1$, et il suffit de vérifier qu'aucune de ces valeurs n'est une racine.

B. A.

Re: Un nombre Irrationnel

MessagePosté: Lundi 16 Juillet 2018, 12:10
par adem19s
balf a écrit:Inutile de localiser $\sin\dfrac\pi{18}$ ni d'invoquer une contradiction : on peut utiliser le résultat que, si un polynôme à coefficients entiers a une racine rationnelle,$\dfrac ab$ (fraction irréductible), alors le numérateur divise le terme constant et le dénominateur divise le coefficient dominant. Ici, on obtient que les seules racines rationnelles possibles sont $\pm 1$, et il suffit de vérifier qu'aucune de ces valeurs n'est une racine.

B. A.

je ne connais pas ce résultat...un lien si c'est possible pour savoir plus et merci Mr.

Re: Un nombre Irrationnel

MessagePosté: Lundi 16 Juillet 2018, 15:46
par balf
Il y a une démonstration sur cette page de l'Université Joseph Fourier: https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/mat249/mat249/node27.html, tout à fait standard – juste une utilisation systématique du lemme de Gauß.

B. A.

Re: Un nombre Irrationnel

MessagePosté: Lundi 16 Juillet 2018, 22:40
par adem19s
balf a écrit:Il y a une démonstration sur cette page de l'Université Joseph Fourier: https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/mat249/mat249/node27.html, tout à fait standard – juste une utilisation systématique du lemme de Gauß.

B. A.

Merci.