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Probabilités

MessagePosté: Mercredi 23 Mai 2018, 14:27
par Lolipop
Bonjour,

J’aimerai un peu d’aide pour cet exercice :
Soit X et Y deux var aléatoires à densité indépendantes de même loi uniforme sur [0;1].
Z=X+Y

Comment montrer que P(X<=Y)=P(Y<=X) ? Et comment montrer que 1-Y et Y ont la même loi ?

Merci d’avance

Re: Probabilités

MessagePosté: Mercredi 23 Mai 2018, 19:07
par balf
Eh bien, en calculant: puisque les densités de $X$ et $Y$ sont égales à 1, on a

$$\begin{array}{l} \displaystyle P(X\leqslant Y)=\int_0^1\Bigl(\int_0^y 1\,\mathrm dx\Bigr)\mathrm dy.\\[2ex] \displaystyle P(Y\leqslant X)=\int_0^1\Bigl(\int_y^1 1\,\mathrm dx\Bigr)\mathrm dy. \end{array} $$

Pour l'autre question, remarquer simplement que

$$P(1-Y\le t)=P(Y\ge 1-t)=1-P(Y<t).$$


Bernard