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Topologie

MessagePosté: Lundi 09 Avril 2018, 16:38
par zariski63
Bonjour !
Pourriez-vous svp me dire si ma démonstration est correcte ?
J'ai un doute quand à l'utilisation correcte de l'inf ...
Merci

Code: Tout sélectionner
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

\begin{document}
\textbf{Preuve}

Soit $x \in E$ et $F=\left\{d(x,a), a \in A \right\}$.

$d(x,A)=\inf F$ est bien défini comme borne inférieure d'un ensemble de réels minorés par 0.

\medskip

\colorbox{red!10}{$e \in F$ se traduit par : \; $\exists a \in A \;,\; e=d(x,a)$.}

\medskip

$\begin{array}{ccl}
  d(x,A)={\color{red}0} & \Longleftrightarrow & \forall \varepsilon >0 \;,\; \exists e \in F \;,\; e-{\color{red}0} < \varepsilon \quad \text{ (caractérisation de la borne inf.)}\\[0.1ex]
          & \Longleftrightarrow & \forall \varepsilon >0 \;,\; \exists a \in A \;,\;  d(x,a) < \varepsilon \quad \text{ (d'après la remarque surlignée)}\\[0.1ex]
          & \Longleftrightarrow &  \forall \varepsilon >0 \;,\; \exists a \in A \; \text{ et } \;  a \in  B(x,\varepsilon)\\[0.1ex]
          & \Longleftrightarrow & \forall \varepsilon >0 \;,\;   B(x,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset \\[0.1ex]
          & \Longleftrightarrow &  x \in \overline{A}\\[0.1ex]
\end{array}$

\end{document}

Re: Topologie

MessagePosté: Mardi 10 Avril 2018, 12:25
par balf
Ça me paraît correct. Juste cette observation : je ne suis pas sûr que la première équivalence soit indispensable, ni qu'on ait besoin d'introduire l'ensemble de réels $F$.
B. A.

Re: Topologie

MessagePosté: Mardi 10 Avril 2018, 13:12
par zariski63
ok merci beaucoup.
Pour la première équivalence, effectivement on peut s'en passer.
C'est juste pour faire le lien avec la borne inf ...