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Inégalité polynomiale

MessagePosté: Mardi 13 Février 2018, 11:03
par MB
Voici le petit exercice suivant.

Soit $P \in \R[X]$ un polynôme scindé de degré $n \geq 1$.
1) Montrer que $(n-1)(P')^2 \geq nPP''$.
2) Étudier les cas d'égalité.


Je pense avoir une solution basée sur l'expression de $\frac{P'}{P}$ et de sa dérivée $\frac{PP''-(P')^2}{P^2}$, puis via Cauchy-Schwartz.
Peut-être qu'il y a mieux.

Re: Inégalité polynomiale

MessagePosté: Mardi 13 Février 2018, 17:46
par OG
Hello

J'ai regardé et ce que j'ai trouvé doit revenir au même (Cauchy-Schwarz inside), en partant
de

$$ P'= P \times \sum \frac{1}{X-a_k} $$


dérivant, etc.

O.G.

Re: Inégalité polynomiale

MessagePosté: Mercredi 14 Février 2018, 08:57
par MB
Merci. Je suppose donc que c'est la méthode la plus naturelle.

Re: Inégalité polynomiale

MessagePosté: Mercredi 14 Février 2018, 12:27
par OG
J'avoue que je ne sais pas si c'est la méthode la plus naturelle. Je ne connaissais pas cet exo (qui doit être classique) et le côté "scindé" pousse à utiliser $P'/P$.

O.G.

Re: Inégalité polynomiale

MessagePosté: Mercredi 14 Février 2018, 18:55
par MB
Je ne sais pas si il est classique, je ne l'ai même pas trouvé dans les bouquins dont je dispose. D'ailleurs si quelqu'un a une référence dans laquelle il figure ...

Re: Inégalité polynomiale

MessagePosté: Jeudi 15 Février 2018, 08:51
par guiguiche
En lien avec les polynômes de Hermite comme dans ce sujet : ESSEC 2002 S.