Page 1 sur 1

[Résolu] Une limite à calculer

MessagePosté: Samedi 03 Février 2018, 16:23
par evariste_G
Bonjour.

J'aimerais calculer la limite de $(2n)!\left(\displaystyle\sum_{k=2}^{2n}\frac{(-1)^{k}}{k!}\text{e} -1\right)$. Je n'ai pas vraiment d'idée... J'ai bien tenté de passer par le DL de $\text{e}^{-1}$, mais ça me donne une FI du type $\infty\times0$. J'ai aussi regardé du côté de la formule de Stirling, mais en vain.
Comment trouver un équivalent à l'infini de cette expression ? Ou une façon quelconque de déterminer la limite ?

Re: Une llimite à calculer

MessagePosté: Samedi 03 Février 2018, 17:55
par kojak
Bonjour.

Déjà pour cette somme tu peux commencer à 0 : $\displaystyle\sum_{k=2}^{2n}\frac{(-1)^{k}}{k!} = \sum_{k=0}^{2n}\frac{(-1)^{k}}{k!} $

Ensuite $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!}=\text{e}^{-1}$

Donc $\ds\sum_{k=0}^{2n}\frac{(-1)^{k}}{k!}+\sum_{k=2n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!}=\text{e}^{-1}$ et $\ds\sum_{k=2n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!}=r_{2n+1}$ reste d'ordre $2n+1$ et pour une série alternée on a $|r_n[\leq |u_{n+1}|$

Ensuite, si je ne me suis pas trompé dans mon calcul, on a ton expression inférieure ou égale en valeur absolue à $\ds\frac{\text{e}}{(2n+1)(2n+2)}$ d'où la limite nulle.

Re: Une limite à calculer

MessagePosté: Dimanche 04 Février 2018, 06:07
par evariste_G
Merci ! C'était ma première idée, mais il me manquait ce théorème de majoration. C'est frustrant... :)