Page 1 sur 1

[Résolu] Développement d'une dérivée partielle

MessagePosté: Dimanche 31 Juillet 2016, 10:18
par toitoinebzh
Bonjour,

Petit problème de math...

Je cherche à connaître la bonne manière de développer une différentielle

D'habitude pour une dérivée d'une fonction f(x,y) on peut écrire

$df(x,y)=\dfrac{\partial f}{ \partial x} \, dx + \dfrac{\partial f}{ \partial y} \, dy  $

ceci est toujours vrai pour une fonction qui prend des fonction en variables, par exemple pour une fonction f(g(x,y), h(x,y))

$df(g(x,y), h(x,y))=\dfrac{\partial f}{ \partial g} \, dg + \dfrac{\partial f}{ \partial h} \, dh $

au final, je me pose la question de savoir comment développer la dérivée partielle d'une fonction f(g(x,y), h(x,y))

peut on écrire

(1) $\partial f(g(x,y), h(x,y))=\dfrac{\partial f}{ \partial g} \, \partial g + \dfrac{\partial f}{ \partial h} \, \partial h $

ou est ce qu'il faut se contenter de simples produits

(2) $\dfrac{\partial f}{ \partial x}= \dfrac{\partial f}{ \partial g} \dfrac{\partial g}{ \partial x} = \dfrac{\partial f}{ \partial h} \dfrac{\partial h}{ \partial x}$


personnellement je penche plutôt pour la solution 2, pouvez vous me confirmer mon choix ?
Merci

Re: développement d'une dérivée partielle

MessagePosté: Dimanche 31 Juillet 2016, 19:24
par kojak
Bonjour,
toitoinebzh a écrit:D'habitude pour une dérivée d'une fonction f(x,y) on peut écrire

$df(x,y)=\dfrac{\partial f}{ \partial x} \, dx + \dfrac{\partial f}{ \partial y} \, dy $
Ce n'est pas une dérivée mais une différentielle

toitoinebzh a écrit:au final, je me pose la question de savoir comment développer la dérivée partielle d'une fonction f(g(x,y), h(x,y))


Il n'y a pas qu'une seule dérivée partielle mais 2.

En posant $F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y))$ on a $ \dfrac{\partial F}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial g}\dfrac{\partial g}{\partial x}+\dfrac {\partial f}{\partial h}\dfrac{\partial h}{\partial x}$.

Idem pour $\dfrac{\partial F}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial g}\dfrac{\partial g}{\partial y}+\dfrac {\partial f}{\partial h}\dfrac{\partial h}{\partial y}$

Re: développement d'une dérivée partielle

MessagePosté: Dimanche 31 Juillet 2016, 20:21
par toitoinebzh
Bonjour,

Merci pour cette réponse claire et cette correction de vocabulaire.

Par curiosité, est ce qu'il existe un mot pour désigner/différencier les fonctions et la relation entre $F$ et $f$ ?