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[PTSI] Changement d'indice

MessagePosté: Vendredi 30 Octobre 2015, 16:01
par EsToRzZz
Bonjour,
Je fais appel a vous aujourd'hui pour vous demander de l'aide sur un exercice avec du changement d'indice et autre.

Exercice :
Soit n un entier supérieur ou égal a 2. on a :
$\ds Q_n = \prod_{k=1}^{n-1} sin(\frac{k \pi}{2n}) $ et $\ds R_n = \prod_{k=1}^{2n-1} sin(\frac{k \pi}{2n}) $
On pose : $P(z) = \ds \sum_{k=0}^{n-1}z^k = 1+z+z^2+...+z^{n-1}$

Questions :
1) a l'aide du changement d'indice p = 2n-k, montrer que $Q_n =\ds  \prod_{p=n+1}^{2n-1}sin(\frac{p \pi}{2n})$
et en déduire que $R_n = Q_n^2$
2)Resoudre dans $\C$ l'equation $(z+1)^{2n}-1 = 0$ et on note $z_0$ la solution nulle et $z_1,....,z_{2n-1}.$ Les mettre sous forme trigonométrique.
3)On note $\ds P_n = \prod_{k=1}^{2n-1}z_k.$ Montrer que $R_n = -\frac{P_n}{2^{2n-1}}$.
4)On admet que $P_n = -2n.$ Démontrer que : $Q_n = \frac {\sqrt {n}}{2^{n-1}}$

J'avoue de pas avoir regardé la suite étant donné que j'arrive meme pas le debut de l'exercice !!
Merci de votre aide,

Maxence

Re: [PTSI]Changement d'indice

MessagePosté: Vendredi 30 Octobre 2015, 16:28
par kojak
Bonjour,

Ben pour la 1), il n'y a qu'à suivre l'indication donnée par ton énoncé. Tu fais comment alors ?

Tu peux faire la question 2 sans avoir fait la première :wink:

PS : d'ailleurs c'est un $\sum$ ou un $\Pi$

PS 2 : dans $R_n$ il n'y aurait pas un bug dans ton écriture car là il faut $0$ avec $k=n$

Re: [PTSI]Changement d'indice

MessagePosté: Vendredi 30 Octobre 2015, 16:49
par EsToRzZz
Pour PS : Effectivement une erreur !!
Pour PS2 : Pour le $R_n$, je modifie, la prof avait fait une erreur !! C'est 2n au dénominateur et pas seulement pour Rn d'ailleurs !

Pour la question 1, je pense ne pas avoir compris le principe de changement d'indice :/

Re: [PTSI]Changement d'indice

MessagePosté: Vendredi 30 Octobre 2015, 17:20
par kojak
EsToRzZz a écrit:Pour la question 1, je pense ne pas avoir compris le principe de changement d'indice :/

Ben comme son nom l'indique, tu changes ton indice $p=2n-k$ alors ton $k$ dans ton produit varie de combien à combien ? donc $p$ varie entre .. ? ensuite dans l'expression tu remplaces $k$ par son expression en fonction de $p$ et un petit coup de formule de trigo et le tour est joué :wink:

Re: [PTSI]Changement d'indice

MessagePosté: Vendredi 30 Octobre 2015, 18:59
par EsToRzZz
Ok donc la, k varie de 1 a n-1
donc p varie entre n+1 a 2n-1. c'est bien ça ?
Je retrouve donc ce que je veux presque !!
Mais je comprend pas ce que tu veux dire après. En gros je dis que k = 2n-p ?

Re: [PTSI]Changement d'indice

MessagePosté: Vendredi 30 Octobre 2015, 20:31
par kojak
EsToRzZz a écrit:Ok donc la, k varie de 1 a n-1
donc p varie entre n+1 a 2n-1. c'est bien ça ?
Oui

EsToRzZz a écrit:En gros je dis que k = 2n-p ?
oui et tu remplaces donc $k$ par cette expression dans celle de $Q_n$ donné initialement : c’est ça un changement d'indice. Ensuite, il n'y a plus qu'à simplifier ton $\sin\left(\dfrac{(2n-p)\pi}{2n}\right)$ de façon à obtenir ce qui t'est demandé.