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Fonction définie par une série

MessagePosté: Dimanche 28 Novembre 2010, 14:58
par AMA
Bonjour,

Je dois étudier la fonction $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{x+n}$

J'ai trouvé qu'elle était continue sur $\mathbb{R}\backslash\mathbb{Z}_-$ (thm des séries alternées), mais on me demande de trouver un équivalent en 0 et en $+\infty$ et je ne sais pas comment faire.

Merci.

Re: Fonction définie par une série

MessagePosté: Dimanche 28 Novembre 2010, 15:40
par PRND
Commence par regrouper les termes par 2, pour faire disparaître les $(-1)^n$
Ensuite, en $+\infty$ c'est une comparaison série/intégrale.
En $0$ c'est beaucoup plus simple

Re: Fonction définie par une série

MessagePosté: Dimanche 28 Novembre 2010, 17:03
par AMA
Ok je trouve $1/x$ comme équivalent en $+\infty$ avec la comparaison série intégrale, c'est juste?
Par contre en 0 je ne vois pas trop...

Re: Fonction définie par une série

MessagePosté: Dimanche 28 Novembre 2010, 17:24
par PRND
AMA a écrit:Ok je trouve $1/x$ comme équivalent en $+\infty$ avec la comparaison série intégrale, c'est juste?

Non
Par contre en 0 je ne vois pas trop...

Seul le premier terme de la somme est "gênant". Alors sépare le des autres

Re: Fonction définie par une série

MessagePosté: Dimanche 28 Novembre 2010, 17:31
par AMA
Pour l'infini je trouve comme encadrement $-\ln(1-\frac{1}{x})\leq f(x)\leq \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} -\ln(1-\frac{1}{x})$, c'est juste ça?

Ensuite en 0 c'est équivalent à $1/x$.

Re: Fonction définie par une série

MessagePosté: Dimanche 28 Novembre 2010, 17:42
par PRND
AMA a écrit:Pour l'infini je trouve comme encadrement $-\ln(1-\frac{1}{x})\leq f(x)\leq \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} -\ln(1-\frac{1}{x})$, c'est juste ça?

Je ne pense pas
Ensuite en 0 c'est équivalent à $1/x$.

Oui

Re: Fonction définie par une série

MessagePosté: Dimanche 28 Novembre 2010, 17:52
par AMA
J'ai vérifié les calculs et je n'ai pas trouvé d'erreurs. C'est quoi la solution au fait ?

Re: Fonction définie par une série

MessagePosté: Dimanche 28 Novembre 2010, 17:55
par PRND
Si tu expliquais ce que tu as fait ?

Re: Fonction définie par une série

MessagePosté: Dimanche 28 Novembre 2010, 18:17
par AMA
La fonction $t\mapsto\frac{1}{x+2t}-\frac{1}{x+2t+1}$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+$, puis j'ai fait une comparaison série intégrale (j'ai pas trop envie de taper tous mes calculs avec latex :| ).

Re: Fonction définie par une série

MessagePosté: Dimanche 28 Novembre 2010, 18:22
par PRND
Oui, c'est ça. L'erreur doit donc être après, sans doute au niveau de l'intégrale