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Calculer

MessagePosté: Vendredi 24 Septembre 2010, 15:52
par Mello
Salut tout le monde.
si $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont les racines de $x^3-x-1=0$,Calculer
$\frac{1-\gamma }{1+\gamma }+\frac{1-\alpha }{1+\alpha }+\frac{1-\beta }{1+\beta }$
Comment commencer ?
Merci.

Re: Calculer

MessagePosté: Vendredi 24 Septembre 2010, 16:10
par kojak
Bonjour,

réduire au même dénominateur et utiliser le fait que tes trois nombres sont solutions :wink:

Re: Calculer

MessagePosté: Vendredi 24 Septembre 2010, 16:26
par Mello
ok,je vais essayer.
Merci.

Re: Calculer

MessagePosté: Samedi 25 Septembre 2010, 18:22
par soutiensmaths
Tu peux utiliser le fait que $\alpha^3=\alpha+1$, $\beta^3=\beta+1$ et $\gamma^3=\gamma+1$, pour remplacer les expressions des dénominateurs.
De plus il te faudra remarquer que $\alpha\beta\gamma=1$.

Re: Calculer

MessagePosté: Samedi 25 Septembre 2010, 20:29
par Mello
"soutiensmaths" est-ce vous pouvez expliquer ta méthode ?
Merci.

Re: Calculer

MessagePosté: Samedi 25 Septembre 2010, 20:36
par Mikelenain
Et bien, je pense que quand tu vas réduire au même dénominateur, tu vas te retrouver avec un truc ressemblant à :
$\frac{--------}{(\alpha+1) \times (\beta +1) \times (\gamma +1)}$

Mais $\alpha^3=\alpha+1$, $\beta^3=\beta+1$ et $\gamma^3=\gamma+1$
Cela devrait simplifier beaucoup l'expression.

J'imagine que si tu développes le dénominateur résultant, tu vas retrouver des $\alpha \beta \gamma$.
Il y a aussi moyen de simplifier ;)

Re: Calculer

MessagePosté: Samedi 25 Septembre 2010, 22:06
par soutiensmaths
$\alpha ,\beta ,\gamma$ sont les racines de $x^3-x-1=0$, donc ils vérifient l'équation $x^3=x+1$, d'où $\alpha^3=\alpha+1$, $\beta^3=\beta+1$ et $\gamma^3=\gamma+1$.

De plus on a : $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-x-1$. Par identification des coefficients des deux polynômes on obtient :

$\alpha\beta\gamma=1$, $\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=-1$ et $\alpha+\beta+\gamma=0$. (*)

On utilise les égalités précédente pour calculer $\frac{1-\gamma }{1+\gamma }+\frac{1-\alpha }{1+\alpha }+\frac{1-\beta }{1+\beta } =\frac{1-\gamma }{\gamma^3 }+\frac{1-\alpha }{\alpha^3}+\frac{1-\beta }{\beta^3} $

Il te suffit de réduire au même dénominateur et d'utiliser les égalités (*).

Après quelques calculs le résultat final obtenu est 1.

Re: Calculer

MessagePosté: Samedi 25 Septembre 2010, 23:23
par Mello
Une autre bonne méthode.Merci "soutiensmath"
et merci pour les autres.

Re: Calculer

MessagePosté: Dimanche 26 Septembre 2010, 00:38
par Framboise
Bonjour,

Superbes équations. Cela est voisin des théories de Galois. :wink:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or ... el-Ruffini